Dynamische Randbedingungen

David Hipp hat am Projekt Cooking Math mitgearbeitet. In seinem
darin vorgestellten Forschungsprojekt betrachtet er eine relativ
einfache Form der Wellengleichung, die jedoch gut für die
Beschreibung von akustischen Wellen geeignet ist. Die Gleichung
beschreibt die Wellenausbreitung im Raum mit Hilfe einer
partiellen Differentialgleichung. Die Lösung der Wellengleichung
ist eine Funktion deren Variablen die Zeit und der Ort sind.
Konkret werden in der Gleichung zeitliche und räumliche
Änderungen des Zustands, also der Funktion, in Beziehung gesetzt,
um die Wellenausbreitung zu beschreiben.


Das mathematische Modell für Wellenausbreitung in beschränkten
Gebieten umfasst neben der partiellen Differentialgleichung (die
hier die Wellengleichung ist) auch noch die Anfangsbedingung, die
den Zustand und die Geschwindigkeit zu Beginn des Prozesses
festlegt, sowie die Bedingungen am Rand des Gebietes.


Physikalisch ist klar, dass Wellen, wenn sie auf die Oberfläche
am Rand treffen beispielsweise reflektiert, gebrochen oder
gestreut werden können - je nachdem welche Materialeigenschaften
der Rand hat.


David Hipp untersucht in seiner Forschung insbesondere den
Einfluss der Randbedingungen auf die Simulationen solcher
Probleme - in seinem Fall also die Wellenausbreitung im Raum.
Klassisch wird häufig die Dirichlet oder Neumann-Randbedingung
gewählt bzw. die Robin Bedingung als Mischung der beiden. Diese
drei Bedingungen auf dem Rand sind allerdings nicht immer
realistisch genug, weil sie keine Bewegungen auf dem Rand
erlauben..


Deshalb untersucht man derzeit dynamische Randbedingungen - das
sind eben solche Bedingungen, die Bewegungen der Welle auf dem
Rand zulassen. Damit kann die Wellen Energie an die Wand abgeben
und die Wand selbst aktiver Teil der Wellenausbreitung wird. Das
kann dann sogar zu Oberflächenwellen auf der Wand führen.


Konventionelle numerische Verfahren müssen auf diese neuartigen
Randbedingungen erst angepasst werden. Zwar kann David Hipp auf
die Finite Elemente Diskretisierung im Raum in Kombination mit
klassichen Zeitschrittverfahren zurückgreifen, jedoch muss
geprüft werden ob diese Verfahren immer noch so gute Ergebnisse
liefern, wie man sie von üblichen Anwendungen gewohnt ist.


Eine Herausforderung der dynamischen Randbedingungen ist es, dass
unterschiedliche Skalen im Prozess auftreten können, die dann
auch so berücksichtigt werden müssen. Zum Beispiel schwingen die
Wand und die akustische Welle mit unterschiedlichen
Geschwindigkeiten oder Frequenzen. Im Moment genügt es für seine
Testrechnungen, das Randgitter der FE-Diskretisierung zu
belassen. In Zukunft geht es aber auch darum, hier Anpassungen
für unterschiedlichste Materialien möglich zu machen um den
verschiedenen Skalen gerecht zu werden.


David Hipp ging im Cooking Math Projekt sehr offen und mit
wenigen konkreten Vorstellungen in die Zusammenarbeit mit der
Hochschule für Gestaltung (HfG) hinein. Schlussendlich ist das
vorliegende Ergebnis der Zusammenarbeit mit Oliver Jelko von der
HfG eine Mischung aus Lehrvideo zur Mathematik der
Wellenausbreitung und professioneller Animation numerischer
Testrechnungen für drei unterschiedliche Randbedingungen:
Dirichlet, Neumann und akustische Randbedingung. Die akustische
Randbedingung ist eine dynamische Randbedingung, die auf der
modellhaften Vorstellung beruht, dass die Wand aus vielen
winzigen Federn besteht, welche zu schwingen beginnen, wenn sie
durch auftreffende akustische Wellen dazu angeregt werden.


Als Mathematiker gehört die visuelle Darstellung der Ergebnisse
zu unserer Arbeit und ist z.B. auch eine Form von Verifizierung.
Aber die professionelle Animation zu Dirichlet-, Neumann und
akustischen Randbedingungen durch einen Gestalter ist leichter
zugänglich und erlaubt ein intuitives Verständnis.


Das Video aus dem Cooking Math Projekt
Literatur und Zusatzinformationen

J. T. Beale, S. I. Rosencrans: Acoustic boundary conditions,
Bull. Amer. Math. Soc. 80, 1276-1278, 1974.

S. Larsson, V. Thomee: Partial Differential Equations with
Numerical Methods, Springer, 2003.

V. Rao: Boundary Condition Thinking, ein
populärwissenschaftlicher Zugang zu Randbedingungen, 2011.

R.P. Vito and S.A. Dixon: Blood Vessel Constitutive Models,
1995–2002, Annual Review of Biomedical Engineering 5, 413-439,
2003.

Podcasts

J. Enders, C. Spatschek: Cooking Math, Gespräch mit G. Thäter
und S. Ritterbusch im Modellansatz Podcast, Folge 80, Fakultät
für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016.
http://modellansatz.de/cooking-math

J. Eilinghoff: Splitting, Gespräch mit G. Thäter im
Modellansatz Podcast, Folge 81, Fakultät für Mathematik,
Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016.
http://modellansatz.de/splitting

P. Krämer: Zeitintegration, Gespräch mit G. Thäter im
Modellansatz Podcast, Folge 82, Fakultät für Mathematik,
Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016.
http://modellansatz.de/zeitintegration