Topologie

Prof. Dr. Wolfgang Lück befasst sich am HIM (Hausdorff Research
Institute for Mathematics) und dem Mathematisches Institut der
Universität Bonn mit der Topologie von Mannigfaltigkeiten und
Flächen wie auf einem Torus oder einer Kugel. Speziell für Kugeln
und Kreise gibt es die Sphären-Notation , die die Oberflächen des
Objekts im beschreiben. Damit ist eine Kreislinie und die
Kugeloberfläche.


Auch wenn Flächen lokal ähnliche Eigenschaften haben, kann die
Situation global ganz anders aussehen: So unterscheidet sich die
Vorstellung einer flachen Erde lokal nicht von der Kugelform der
Erde, global sieht es aber ganz anders aus. Ebenso kennen wir
auch jetzt noch nicht sicher die Topologie des Weltalls. Dazu
beschränkt sich unser Vorstellungsraum oft auf drei Dimensionen,
obwohl schon die relativistische Physik uns lehrt, unsere
Umgebung als Raumzeit in 4 Dimensionen zu verstehen.


Bei der Klassifikationen von Flächen auf unterschiedlichen
Körpern verwendet man Homöomorphismen um ähnliche Flächen
einander zuzuordnen, und letztlich unterscheiden sich die
Flächenklassen dann nur noch durch die Anzahl der Löcher bzw. dem
Geschlecht, was dann auch die Eigenschaften der Flächen bestimmt.
Ein Weg das Geschlecht der Fläche zu bestimmen ist die
Triangularisierung, eine andere Möglichkeit bietet die Analyse
des Spektrums eines Operators wie dem Laplace-Operators, das auch
in der Topologie von Graphen zum Einsatz kommen kann.


Ein Beispiel für die Anwendung des Laplace-Operators ist die
Wärmeleitungsgleichung, die zwar die lokalen Eigenschaften des
Wärmetransports beschreibt, jedoch das Wärmegleichgewicht nach
unendlicher Zeit die globalen Zusammenhänge beinhaltet. Ein
wichtiger Begriff ist hier der Integralkern, der hilft Lösungen
durch Integraloperatoren darzustellen.


Ein wichtiger mathematischer Begriff ist dabei der
-Funktionenraum, der über die Fourier-Transformation auf
bestimmten Gebieten mit dem -Folgenraum identifiziert werden
kann, und man dadurch auf Lösungen von partiellen
Differentialgleichungen schließen kann.


Besonderes Interesse liegt in der Topologie auf Invarianten, wie
der Fundamentalgruppe, mit der man auch den Fundamentalsatz der
Algebra beweisen kann. Ein weiteres Beispiel für eine Invariante
ist die Windungszahl, die gerade in der Funktionentheorie zum
Residuensatz und effizienten Integralberechnungsmethoden führt.


Dabei entstehen oft nicht kommutative Verknüpfungen, wie man es
zum Beispiel von der Matrizenmultiplikation oder den
Symmetriegruppen kennen kann.


Ein elementarer Einstieg in die Topologie ist auch über die
Knotentheorie möglich, wo ebenso Knoten-Invarianten gefunden
werden können, und über zum Beispiel Jones-Polynome klassifiziert
werden können.


Im weiteren Gespräch geht es um Themen wie die unterschiedlichen
Bilder der Mathematik in Gesellschaft, Schule und Universität,
die Bedeutung der Mathematik für Gesellschaft, die Ausbildung für
Industrie und das Lehramt, und über den Stand und Möglichkeiten
der Gleichberechtigung und Förderung von Frauen in der
Wissenschaft.
Literatur und Zusatzinformationen

W. Lück: Was und wie zählt man im Alltag und in der modernen
Mathematik? Vortrag im Kolloquium zur Didaktik der Mathematik,
Karlsruhe, Dezember 2014.

W. Lück: Algebraische Topologie, Homologie und
Mannnigfaltigkeiten, Vieweg Spektrum, 2005.

W. Lück: Transformation Groups and Algebraic K-Theory,
Lecture Notes in Mathematics, 1989.

Publikationen von Wolgang Lück

Wolfgang Lück in der Wikipedia