Analysis und die Abschnittskontrolle

Im Herbst beginnen die neuen Studiengänge der Mathematik am KIT
und neben den Vorlesungen zur Linearen Algebra, Stochastik oder
Numerik gehört die Analysis zu den mathematischen Vorlesungen,
mit dem das Studium der Mathematik in den ersten Semestern
beginnt. Dazu spricht Sebastian Ritterbusch mit Johannes
Eilinghoff, der im letzten Jahr den Übungsbetrieb der
Analysis-Vorlesungen mit großem Anklang organisiert hat.


Die Analysis befasst sich besonders mit der Mathematik um
Funktionen auf reellen Zahlen, welche Eigenschaften sie haben,
und wie man diese differenzieren oder integrieren kann. Vieles
zur Geschichte der Analysis findet man besonders in den Büchern
von Prof. Dr. Michael von Renteln, der unter anderem über die
Geschichte der Analysis im 18. Jahrhundert von Euler bis Laplace,
die Geschichte der Analysis im 19. Jahrhundert von Cauchy bis
Cantor, über Aspekte zur Geschichte der Analysis im 20.
Jahrhundert von Hilbert bis J. v. Neumann und über die Die
Mathematiker an der Technischen Hochschule Karlsruhe 1825-1945
geschrieben hat.


Grundlage für die Mathematik in der Analysis sind die
Zahlenmengen, wie die abzählbaren natürlichen Zahlen , ganzen
Zahlen , rationale Zahlen und schließlich die überabzählbaren
reellen Zahlen . Während die natürlichen Zahlen direkt mit dem
Beweisprinzip der vollständigen Induktion in Verbindung stehen
und für sich schon ein Thema der Zahlentheorie sind, benötigt man
für die Analysis mindestens die reellen Zahlen. Diese kann man
über konvergente Folgen bzw. Cauchy-Folgen rationaler Zahlen
einführen. Für den Beweis der Äquivalenz dieser beiden
Konvergenzbegriffe kann man die Dreiecksungleichung sehr gut
gebrauchen.


Ein Beispiel für eine Folge rationaler Zahlen, die gegen eine
irrationale Zahl konvergieren ist , die gegen die Eulersche Zahl
konvergiert, d.h. . Aus jeder Folge kann man eine Reihe bilden,
indem man die Folgenglieder aufsummiert. Wichtige Reihen sind die
geometrische Reihe mit Summenwert , wenn , und die divergente
Harmonische Reihe, mit der man sogar Brücken bauen kann.


Über den Begriff der Folge kann man auch offene Mengen und
abgeschlossene Mengen definieren, so wie dies auch mit
Epsilon-Umgebungen definiert werden kann. Diese Eigenschaften
werden im Bereich der mathematischen Topologie noch viel
umfassender eingeführt, aber schon diese Darstellungen helfen,
den wichtigen Begriff der Funktion in der Analysis und deren
Eigenschaften einzuführen. Zur Definition einer Funktion gehört
neben der eigentlichen Abbildungsvorschrift die Angabe der
Definitionsmenge und der Wertebereich. Ohne diese Informationen
ist es nicht möglich Surjektivität und Injektivität nachzuweisen.


Eine wichtige Eigenschaft von Funktionen ist der Begriff der
Stetigkeit, die man für den Zwischenwertsatz benötigt. Damit kann
man zum Beispiel wackelnde Tische reparieren oder mit Anastasia
im Science Slam Orte gleicher Temperaturen auf der Erde suchen.
Der Zwischenwertsatz gilt zunächst nur für reelle Funktionen, es
gibt den Zwischenwertsatz aber auch in allgemeinerer Form.


Eine weitere wichtige Eigenschaft von Funktionen ist die
Differenzierbarkeit und das Berechnen von Ableitungen mit ihren
Ableitungsregeln. Sehr wichtig ist dabei die Exponentialfunktion,
die mit ihrer eigenen Ableitung übereinstimmt. Diese Funktion
findet man im Alltag in jeder Kettenlinie in der Form des Cosinus
Hyperbolicus wieder. Eine wichtige Anwendung für differenzierbare
Funktionen ist der Mittelwertsatz, ohne den die
Abschnittskontrolle auf Autobahnen zur
Geschwindigkeitsüberprüfung nicht denkbar wäre. Aber auch in
höheren Dimensionen kann man Differentialrechnung betreiben, und
man führt dazu den Gradienten, Richtungsableitungen und z.B. die
Divergenz eines Vektorfelds ein.


Als Umkehrung der Differentiation erhält man die
Integralrechnung. Jedoch ist das Bilden einer Stammfunktion nur
bis auf eine Konstante eindeutig. Daher kann man zum Beispiel mit
Beschleunigungssensoren im Handy nicht wirklich eine Positions-
und Geschwindigkeitsmessung durchführen, sondern muss für die
Trägheitsnavigation viele weitere Sensoren mit einbeziehen. Eine
andere Einführung des Integrals ist das Lebesgue-Integral oder
das Riemannsche Integral, wo man bei letzterem in einem Intervall
die Fläche unter einer Kurve durch Treppenfunktionen annähert.
Den Zusammenhang dieser beiden Begriff liefert der
Fundamentalsatz der Analysis. Leider kann man nicht zu allen
Funktionen analytische Stammfunktionen bestimmen. Hier kann dann
die numerische Integration zum Einsatz kommen. Die Integration
ist aber keine rein abstrakte Idee, sondern wir finden
mathematische Zusammenhänge wie den Gaußsche Integralsatz direkt
in der Natur wieder.


Für den Start im Studium erhält man in Karlsruhe viel
Unterstützung: Es gibt Vorkurse und die von der Fachschaft für
Mathematik und Informatik organisierte Orientierungsphase, oder
kurz O-Phase, in der man die zukünftigen Mitstudierenden
kennenlernen kann. Mit diesen sollte man sich gemeinsam den Stoff
von Vorlesungen, Übungen und Tutorien erarbeiten, um sich mit
gelösten Übungsblättern zur Klausteilnahme zu qualifizieren, und
letztlich auch die Prüfungen gemeinsam vorzubereiten.
Literatur und Zusatzinformationen

W. Reichel: Kurzskript Analysis 1, Vorlesung am KIT,
2012/2013.

W. Reichel: Kurzskript Analysis 2, Vorlesung am KIT, 2013.

H. Amann, J. Escher: Analysis 1, 3. Auflage,
Birkhäuser-Verlag, 2008.

O. Forster: Analysis 1, 7. Auflage, Vieweg-Verlag, 2004.

H. Heuser: Lehrbuch der Analysis, Teil 1, 15. Auflage,
Teubner-Verlag, 2006.

K. Königsberger, Analysis 1, 5. Auflage, Springer-Verlag,
2001.

W. Rudin, Analysis, 4. Auflage, Oldenbourg-Verlag, 2008.

R. Strichartz, The Way of Analysis, Jones and
Bartlett-Verlag, 1995.

W. Walter, Analysis 1, 7. Auflage, Springer-Verlag, 2007.

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