Isoperimetrische Probleme

Moritz Gruber hat an unserer Fakultät eine Doktorarbeit zu
isoperimetrischen Problemstellungen verteidigt und spricht mit
Gudrun Thäter über sein Forschungsgebiet. Ein sehr bekanntes
Beispiel für ein solches Problem kommt schon in der klassische
Mythologie (genauer in Vergils Aeneis) als Problem der Dido vor.
Vergil berichtet, dass Dido als Flüchtling an Afrikas Küste
landete und sich so viel Land erbat, wie sie mit der Haut eines
Rindes umspannen kann. Was zunächst wie ein winziges Fleckchen
Erde klingt, wurde jedoch durch einen Trick groß genug, um die
Stadt Karthago darauf zu gründen: Dido schnitt die Tierhaut in
eine lange Schnur. Das mathematische Problem, dass sich ihr
anschließend stellte und das als Didos oder isoperimetrisches
Problem bezeichnet wird ist nun: Welche Fläche mit einem Umfang
gleich der vorgegebenen Schnurlänge umfasst den größten
Flächeninhalt?


Natürlich wird dieses Problem zunächst etwas idealisiert in der
Euklidischen Ebene gestellt und nicht in der konkreten Landschaft
Karthagos. Es ist ein schwieriges Problem, denn man kann nicht
alle Möglichkeiten ausprobieren oder einfach die Fälle
durchkategorisieren. Andererseits liegt die Vermutung sehr nahe,
dass der Kreis die Lösung ist, denn man kann sich schnell
überzeugen, dass Symmetrien ausgenutzt werden können, um die
eingeschlossene Fläche zu maximieren. Der Kreis hat unendlich
viele Symmetrieachsen und schöpft diese Konstruktion deshalb gut
aus.


Trotzdem war ein stringenter Beweis erst im 18. Jh. mit den bis
dahin entwickelten Methoden der Analysis möglich. Unter anderem
mussten Verallgemeinerungen des Ableitungsbegriffes verstanden
worden sein, die auf dieses Optimierungsproblem passen.


Moritz Gruber interessiert sich für Verallgemeinerungen von
isoperimetrischen Problemen in metrischen Räume, die in der Regel
keinen Ableitungsbegriff haben. Die einzige Struktur in diesen
Räumen ist der Abstand.


Eine Möglichkeit, hier Aussagen zu finden ist es, das Verhalten
für große Längen zu untersuchen und das Wachstum von Flächen in
Abhängigkeit vom Wachstum des Umfangs zu charakterisieren.
Naheliegend ist eine Approximation durch umschriebene und
einbeschriebene Quadrate als obere und untere Schranke für die
Fläche, die tatsächlich umschlossen und nicht so einfach
berechnet werden kann.


Außerdem interessieren ihn Verallgemeinerung auf Lie-Gruppen. Sie
sind gleichzeitig differenzierbare Mannigfaltigkeit und Gruppe.
Die Gruppenverknüpfung und Inversenbildung ist kompatibel mit der
glatten Struktur.
Sogenannte nilpotente Lie-Gruppen sind den kommutativen (d.h.
abelschen) Gruppen am nächsten und bieten ihm die Möglichkeit,
dort Ergebnisse zu erhalten.


Die Übertragung der isoperimetrischen Probleme und mathematischen
Methoden in höhere Dimensionen ergibt sehr viel mehr
Möglichkeiten. In der Regel sind hier sind die unteren Schranken
das schwierigere Problem. Eine Möglichkeit ist der Satz von
Stokes, weil er Maße auf dem Rand und im Inneren von Objekten
vernküpfen kann.

Literatur und weiterführende Informationen

M.R. Bridson: The geometry of the word problem In Invitations
to Geometry and Topology, ed. by M.R. Bridson & S.M. Salomon,
Oxord Univ. Press 2002.

L. Capogna, D. Danielli, S.C. Pauls & J.T. Tyson: An
introduction to the Heisenberg group and the sub-Riemannian
isoperimetric problem. Birkhäuser Progress in Math. 259, 2007.

M. Gruber: Isoperimetry of nilpotent groups (Survey).
Frontiers of Mathematics in China 11 2016 1239–1258.

Schnupperkurs über metrische Geometrie



Podcasts

L. Schwachhöfer: Minimalflächen, Gespräch mit G. Thäter im
Modellansatz Podcast, Folge 118, Fakultät für Mathematik,
Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016.

P. Schwer: Metrische Geometrie, Gespräch mit G. Thäter im
Modellansatz Podcast, Folge 102, Fakultät für Mathematik,
Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016.