On the Elasticity of Stiff Polymer Networks

Diese Arbeit besch\"aftigt sich mit der Bestimmung elastischer
Konstanten in amorphen Materialien. Im Mittelpunkt steht die
Elastizit\"at heterogener Netzwerke aus steifen, stabartigen
Polymeren. Diese Netzwerke spielen eine wichtige Rolle in der
Zell-Biologie, z.B. in der Form des Zytoskeletts, welchem die Zelle
einen Gro\ss teil ihrer mechanischen und dynamischen Eigenschaften
verdankt. Bei der Bestimmung der elastischen Konstanten im Rahmen
der Elastizit\"atstheorie erh\"alt der Begriff der `Affinit\"at''
eine besondere Bedeutung, da er das Deformationsfeld
\emph{homogener} elastischer Systeme charakterisiert. Im Gegensatz
dazu ist es in den hier interessierenden \emph{heterogenen}
Materialsystemen gerade die Abwesenheit dieser affinen
Deformationen, die im Mittelpunkt des Interesses steht. Im Verlauf
der Arbeit wird deutlich, wie Nichtaffinit\"at aus einem
Zusammenspiel geometrischer Eigenschaften der Mikrostruktur und
mechanischer Eigenschaften der Einzelpolymere entstehen kann. Durch
die Kombination von Computersimulation und analytischer
Beschreibung werden wichtige Aspekte bez\"uglich der Rolle der
heterogenen Mikrostruktur in der Ausbildung makroskopischer
Elastizit\"at gekl\"art. Der Ber\"ucksichtigung nicht-affiner
Deformationen kommt dabei au{\ss}erordentliche Bedeutung bei der
pr\"azisen Bestimmung makroskopischer elastischer Konstanten zu. Es
zeigt sich, dass die Struktur der Polymer-Netzwerke im Allgemeinen
durch zwei L\"angenskalen beschrieben werden muss. Neben der
mittleren Maschenweite $a$ tritt eine mesoskopische L\"angenskala
$l_f\gg a$ auf, die aus der stabartigen Form der Polymere folgt. Es
wird gezeigt, dass diese ``Faserl\"ange'' -- und nicht die
Maschenweite -- die Rolle der Einheitszelle des Polymernetzwerkes
spielt. Neben dieser geometrischen Komponente spielen die
elastischen Eigenschaften der Einzelpolymere eine wesentliche Rolle
f\"ur die makroskopische Elastizit\"at. Diese orientieren sich an
den bekannten Kraft-Ausdehnungs-Relationen steifer Polymere und
k\"onnen mit Hilfe des ``worm-like chain'' Modells berechnet
werden. Dar\"uber hinaus wird ein neues ``worm-like bundle'' Modell
entwickelt, das vergleichbare Aussagen zu statistischen und
mechanischen Eigenschaften von Polymer-\emph{B\"undeln} erlaubt.
Der erste Teil der Arbeit besch\"aftigt sich mit der athermischen
Elastizit\"at des Netzwerkes, d.h. der entropische Anteil der
Kraft-Ausdehnungs-Relation wird vernachl\"assigt. Eine
selbst-konsistente `effective-medium'' Theorie wird entwickelt, die
auf der Annahme beruht, dass die Filamente sich wie
\emph{inextensible}, biegesteife St\"abe verhalten. Die Annahme der
Inextensibilit\"at kann mit der anisotropen Elastizit\"at steifer
Polymere begr\"undet werden, deren Biegesteifigkeit, $\kperp$, im
Allgemeinen sehr viel kleiner ist, als deren Strecksteifigkeit,
$\kpar \gg \kperp$. Das sich ergebende nicht-affine
Deformationsfeld kann explizit konstruiert werden (``non-affine
floppy modes'') und erlaubt eine Berechnung der elastischen
Konstanten der Netzwerke, welche mit den Ergebnissen fr\"uherer
Simulationen \"ubereinstimmen. Desweiteren erlaubt die Theorie, in
Verbindung mit dem worm-like bundle Modell, eine Erkl\"arung der
rheologischen Eigenschaften eines in-vitro Modellsystems aus
verkn\"upften Polymerb\"undeln. Der zweite Teil der Arbeit
diskutiert thermische Effekte, indem die entropische
Strecksteifigkeit der Polymere in der Modellierung ber\"ucksichtigt
wird. Es besteht ein charakteristischer Unterschied zwischen diesem
entropischen Beitrag zur Strecksteifigkeit, $\kpar$, und einem
energetischen Beitrag, $k_s$, der sich z.B. aus der Streckung des
Polymer-R\"uckgrats ergibt. Dieser Unterschied betrifft die
Abh\"angigkeit von der L\"ange $l$ des betrachteten
Polymersegments. Die starke Abh\"angigkeit $\kpar\sim l^{-4}$ (im
Vergleich zu $k_s\sim l^{-1}$) f\"uhrt dazu, dass thermische
Netzwerke steifer Polymere eine starke Sensitivit\"at f\"ur
strukturelle Unordnung aufweisen, die in athermischen Netzwerken
nicht vorhanden ist. Im numerischen Modellsystem \"au{\ss}ert sich
dieser Effekt durch die Existenz einer Nichtaffinit\"ats-L\"ange
und dazugeh\"origer anomaler Exponenten der elastischen Konstanten.
Ein Skalenargument wird entwickelt, das den Zusammenhang aufzeigt
zwischen Heterogenit\"at des Netzwerks (hier charakterisiert durch
die Verteilung $P(l)$) und elastischer Eigenschaften des
Einzelpolymers ($\kpar(l)$).