Oszillationen

Diese Folge entstand im Rahmen eines Projekts zur
Modellbildungsvorlesung von Gudrun. Es ist eine Arbeit von Yannik
Brenner, Bastian Hasenclever und Urs Malottke, die das Ziel
haben, in einigen Jahren Mathematik und Physik am Gymnasium zu
unterrichten. Außerdem macht Yannik selbst Musik und hat sich
deshalb ganz praktisch mit Schwingungen an der Gitarre
beschäftigt. Die drei hatten die Idee, dass man das Thema
Schwingunge interessant für die Schule aufbereiten kann, wenn es
dazu auch Hörbeispiele gibt. Deshalb haben Sie sich an einen
Tisch gesetzt, das Gespräch und die Hörbeispiele aufgenommen und
schließlich den Text dazu aufgeschrieben.

Der harmonische Oszillator spielt eine wichtige Rolle zur
Modellierung verschiedenster physikalischer Sachverhalte. Daher
bietet es sich an, ihn schon in der Schule zu thematisieren, wo
er auch in der Oberstufe im Bildungsplan zu finden ist. Während
im Podcast der Versuch unternommen wurde, ein Grundverständnis
für das Thema ohne formale Zusammenhänge zu entwickeln, sollen
hier zusätzlich die mathematischen Hintergründe gemeinsam mit
einigen Abbildungen ergänzt werden. Die didaktischen Aspekte, die
in der Episode zur Sprache kommen, spielen im folgenden Text
jedoch nur eine untergeordnete Rolle.


Grundlegendes


Ein Oszillator ist ein System, das um einen bestimmten Punkt,
in der Regel Ruhepunkt oder auch die Ruhelage genannt,
schwingen kann. Befindet sich das System in Ruhe in dieser
Ruhelage, passiert ohne die Einwirkung äußerer Kräfte nichts;
wird das System von diesem Punkt ausgelenkt, wird es durch eine
rückstellende Kraft wieder Richtung Ruhepunkt beschleunigt. Der
Zusatz "harmonisch" bedeutet, dass die Rückstellkraft linear
von der Auslenkung zum Ruhepunkt abhängt, also proportional zur
Auslenkung zunimmt. Der Graph der Bewegungsfunktion ist eine
Sinus- oder Cosinus-Kurve.
Die einfachsten und wohl auch bekanntesten Beispiele eines
Oszillators im Bereich der Mechanik sind das Faden- und das
Federpendel. Beim Fadenpendel ist der niedrigste Punkt die
Ruhelage und die Rückstellkraft resultiert aus der
Gravitationskraft. Beim Federpendel stellt die Federkraft die
rückstellende Kraft dar.




Eigenschaften eines harmonischen Oszillators

Ein schwingfähiges System besitzt verschiedene Eigenschaften,
mit deren Hilfe das gesamte System beschrieben werden kann. Um
den harmonischen Oszillator zu verstehen, kann man sich zuerst
die Bewegungsgleichung ansehen, also die Gleichung, die die
aktuelle Lage des Systems beschreibt. Ausgangspunkt ist die
Rückstellkraft, die im mechanischen Fall linear von der
Auslenkung zur Ruhelage, also dem aktuellen Ort, abhängt (auf
nicht-mechanische Einsatzgebiete wird später eingegangen). Die
Rückstellkraft kann mit einer Variablen , die von verschiedenen
Merkmalen des Systems abhängt, gemeinsam mit dem Ort also als


dargestellt werden. Die Kraft kann auch als Beschleunigung ,
also der zweifachen Ableitung des Ortes, mal der Masse
ausgedrückt werden, wodurch die Formel auch folgendermaßen
aussehen kann:


Diese Art von Formeln, in der eine Größe gemeinsam mit einer
ihrer Ableitungen auftritt, wird Differentialgleichung
genannt.
Das Erarbeiten einer Lösung ist leichter, wenn durch die
Gleichung vereinfacht wird. wird die Eigenfrequenz des Systems
genannt und gibt außerdem an, wie viele Schwingungen das System
in einer bestimmten Zeit, oftmals einer Sekunde, macht, wenn
keine anderen Kräfte vorliegen. Somit ergibt sich



Die Lösung der Funktion für den Ort muss eine Funktion sein,
die nach zweimaligem Ableiten bis auf einen Vorfaktor und das
Vorzeichen wieder die Ursprungsfunktion ist. Deshalb sind
Sinus- und Cosinus-Funktionen, oder die äquivalente Darstellung
durch die e-Funktion (siehe Eulersche Formel), Lösungen. Werden
nun


gewählt, wobei und die Amplituden, also maximalen Auslenkungen
der Schwingungen darstellen, kann mit den Ableitungsregeln
überprüft werden, dass dies Lösungen für die Bewegungsgleichung
sind.


Als Summe zweier Lösungen ist auch


Eine Lösung, die die allgemeine Lösung genannt wird. Die beiden
Amplituden der einzelnen Sinus-/Kosinus-Funktion müssen dabei
aus Anfangsbedingungen bestimmt werden. Man sieht, dass die
Amplitude der beobachtbaren Schwingung sein muss, also der
maximalen Auslenkung, die beim Zeitpunkt vorliegt, da die
Gesamtschwingung zum Zeitpunkt diese Auslenkung annehmen muss
und zu diesem Zeitpunkt der Sinus verschwindet:


Die Amplitude der Sinus-Funktion bestimmt sich nach


und spielt daher dann eine Rolle, wenn zum Zeitpunkt bereits
eine Geschwindigkeit vorliegt, das System also nicht aus der
Ruhe losgelassen, sondern angestoßen wird.


Zu besprechen ist allerdings noch, wie die Gleichung bei einem
anderen Pendel als dem Federpendel aussieht. Das Prinzip des
Oszillators bleibt gleich und somit natürlich auch die
Mathematik, die ihn beschreibt. Allerdings setzt sich bei
anderen Pendeln anders zusammen, da bei ihnen andere
Rückstellkräfte und andere Systemeigenschaften eine Rolle
spielen und nicht die Federkonstante und Masse wie beim
Federpendel. So gilt beim Fadenpendel


wobei die klassische Gravitationskonstante ist, die beim
Fadenpendel eine große Rolle für die Rückstellkraft einnimmt,
und die Fadenlänge darstellt. Werden Oszillatoren außerhalb der
Mechanik betrachtet, beispielsweise der elektrische
Schwingkreis, ergibt sich aus den Eigenschaften, die dieses
System beschreiben. Beim elektrischen Schwingkreis z.B. aus der
Induktivität der Spule und der Kapazität des Kondensators:


Um die Sinus-förmige Schwingung eines Oszillators zu
beschreiben, werden noch weitere Begriffe verwendet, die jedoch
aus den bisher vorgestellten Eigenschaften bestimmt werden
können. So wird unter der Schwingungs- oder Periodendauer die
Zeit verstanden, die das System für eine vollständige
Schwingung benötigt. Da sie als Informationen die Anzahl an
Schwingungen und eine Zeit enthält, muss sie eng mit der
Eigenfrequenz zusammenhängen:




Überblick über die wichtigsten Begriffe zur Beschreibung
einer Schwingung (Quelle: leifiphysik.de)


Ungedämpfter harmonischer Oszillator

Immer dann, wenn ein schwingfähiges System mit der obigen
Gleichung beschrieben werden kann, handelt es sich um einen
ungedämpften harmonischen Oszillator. Denn an der Gleichung
wird klar, dass die Amplitude, also die maximale Auslenkung,
auch bei der 20ten, 100ten, 10.000ten Schwingung wieder
erreicht wird. Da sich die Systemeigenschaften ohne äußere
Einflüsse ebenfalls nicht ändern, ändert sich das Verhalten
dieses Oszillators nie und er schwingt stets gleich um die
Ruhelage.


Nach der mathematischen Herleitung ist schon fast alles zum
ungedämpften harmonischen Oszillator gesagt, denn: Reale
Beispiele und Anwendungen gibt es nicht! In der Realität gibt
es immer einen Widerstand, der den Oszillator ausbremst und die
Auslenkung langsam kleiner werden lässt. Aus diesem Grund ist
der ungedämpfte Oszillator nur zum Kennenlernen und Verstehen
des Verhaltens sowie als Näherungslösung geeignet.



Gedämpfter harmonischer Oszillator

Beim gedämpften harmonischen Oszillator existiert eine
bremsende Kraft. Das ändert die mathematische Beschreibung in
der Differentialgleichung. Die Bewegungsgleichung des
Federpendels (und äquivalent die Gleichungen anderer
Oszillatoren) wird um einen Term ergänzt, der im einfachen Fall
der Reibung in der Luft, also einem Reibungskoeffizienten und
proportional zur Geschwindigkeit ist:


Oft wird zu zusammengefasst, um das rechnen zu vereinfachen.
Die zu lösende Differentialgleichung wird auf die gleiche Art
gelöst, wird aber natürlich komplizierter. Als Lösungsansätze
empfehlen sich wieder Sinus-, Cosinus- oder e-Funktion. Mit dem
Ansatz ergeben sich Lösungen, wenn die folgende Gleichung
erfüllt:


Je nachdem, wie das Verhältnis von Dämpfung und Eigenfrequenz
sind, werden verschiedene Fälle unterschieden:



Schwach gedämpfter Fall

Der schwach gedämpfte Fall tritt auf, wenn gilt. Somit ist die
Zahl unter der Wurzel bei der Berechnung von negativ und die
Wurzel selbst imaginär. Mit der verkürzten Schreibweise


ergibt sich die allgemeine Lösung zu


was im Vergleich mit der ungedämpften Schwingung eine
Schwingung mit kleinerer Frequenz (da ) und einer mit der Zeit
exponentiell abnehmenden Amplitude darstellt. Eine andere
Darstellungsweise ist folgende:


Hier ist die exponentielle Abnahme der Amplitude besser
ersichtlich, allerdings ist dazu das Verständnis des
Zusammenfassens zweier auftretender periodischer Funktionen
mittels Phasenverschiebung nötig.
Die Schwingung schwingt in diesem Fall weiterhin um die
Ruhelage, allerdings wird, wie bereits gesagt, die maximale
Auslenkung mit jeder Schwingung geringer.



Die Einhüllende zu einer gedämpften Schwingung (Quelle:
Wikipedia/Harmonischer-Oszillator)


Aperiodischer Grenzfall

In Anwendungen ist es oft gewollt, eine Schwingung
schnellstmöglich zu stoppen und zur Ruhelage zurückzukehren.
Wenn eine Dämpfung keine komplette Fixierung in einem Zustand
beinhaltet, ist eine überstarke Dämpfung dabei aber nicht
zielführend, wie intuitiv oft angenommen wird. Um die
Schwingung schnellstmöglich zu stoppen, ist die Bedingung
nötig. Somit verschwindet in der Berechnung von die Wurzel und
es bleibt nur eine Lösung übrig, was für die Schwingung zu


führt, wobei und aus den Anfangsbedingungen, also Auslenkung
und Startgeschwindigkeit, bestimmt werden.
Beim aperiodischen Grenzfall, manchmal auch mit kritischer
Dämpfung bezeichnet, findet keine Schwingung mehr statt. Je
nach Anfangsbedingungen kann die Ruhelage einmal durchlaufen
werden, spätestens dann wird sich dieser allerdings
exponentiell angenährt.



Darstellung des aperiodischen Grenzfalls mit unterschiedlichen
Startgeschwindigkeiten (Quelle:
https://de.wikipedia.org/wiki/Aperiodischer_Grenzfall)



Starke Dämpfung

Zwar führt eine starke Dämpfung auch dazu, dass keine
Schwingung stattfindet, allerdings braucht das System lange, um
wieder in die Ruhelage zurückzukehren. Deshalb wird dieser Fall
auch als Kriechfall bezeichnet. Mathematisch wird er mit der
Bedingung
beschrieben, was zu zwei reellen, negativen Ergebnissen für
führt. Die Bewegungsgleichung ergibt damit vereinfacht


wobei und wieder aus den Anfangsbedingungen bestimmt
werden.


Vergleich des Kriechfalls mit dem aperiodischen Grenzfall


Um zu zeigen, dass die vorgestellten Fälle alle von Nutzen
sind, werden nun einige Anwendungsbeispiele vorgestellt. So ist
der Fall der schwachen Dämpfung für Saiteninstrumente wichtig,
da die einzelnen Saiten sich nicht sofort wieder in die
Ruhelage begeben dürfen, sondern schwingen müssen, um überhaupt
einen Ton erzeugen zu können. Der aperiodische Grenzfall ist
beispielsweise für Autofahrer sehr wichtig, da die Stoßdämpfer
nach diesem Prinzip funktionieren. Das hat den einfachen Grund,
dass das Auto nach der Beanspruchung der Stoßdämpfer schnell
wieder in die ideale Straßenlage kommen soll. Würde eine
schwache Dämpfung verwendet werden, so würde das Auto noch für
längere Zeit auf und ab wippen und die Fahrt eher einer
Bootstour ähneln, was wenig komfortabel ist. Bei starker
Dämpfung könnte es vorkommen, dass die nächste Beanspruchung
nicht ausreichend abgefedert werden kann, da die Feder noch zu
stark eingefedert ist. Aber auch die starke Dämpfung hat ihre
Anwendungsgebiete. So sind beispielsweise viele Türen in
öffentlichen Gebäuden stark gedämpft. Das sorgt für ein
langsames und leises Schließen der Türen und verhindert, dass
die Tür einer unaufmerksamen Person mit zu viel Geschwindigkeit
entgegenfällt und diese eventuell verletzt.



Getriebener Oszillator

Bisher wurde der Oszillator ohne äußere Kräfte betrachtet.
Liegt solch eine Kraft vor, muss diese in die
Bewegungsgleichung integriert werden:


Interessant ist dieser Fall besonders dann, wenn es sich bei
der Kraft um eine periodische Kraft handelt, also . Dieser Fall
ist sehr gut mit einem schaukelndem Kind zu vergleichen,
welches immer zum gleichen Zeitpunkt mit der gleichen Kraft
angeschubst wird.
Durch diese von außen aufgebrachte Kraft wird aus der homogenen
eine inhomogene Differentialgleichung. Um diese zu lösen muss
die Lösung der homogenen Differentialgleichung, welche in dem
Abschnitt zu dem gedämpften harmonische Oszillator zu finden
ist, mit der sogenannten partikulären Lösung addiert werden.


Die partikuläre Lösung lässt sich mit dem Ansatz des Typs der
rechten Seite lösen und ergibt sich zu


dabei handelt es sich bei um eine Phasenverschiebung zwischen
der antreibenden Kraft und dem um den Ruhepunkt schwingenden
Massepunkt.
Von besonderem Interesse ist dabei das Verhalten des gesamten
Systems für verschiedene Frequenzen der treibenden Kraft. Dabei
werden drei verschiedene Fälle betrachtet.



Niederfrequenter Bereich:

Für den niederfrequenten Bereich gilt, dass die Frequenz der
antreibenden Kraft sehr viel kleiner ist als die Eigenfrequenz
des Oszillators. Aufgrund dessen ist die Amplitude der
anregenden Kraft in etwa so groß wie die Amplitude des
Massepunktes. Das Amplitudenverhältnis beträgt also ungefähr 1.
Der Phasenunterschied zwischen den beiden Schwingungen ist in
etwa 0.



Resonanzfall:

Von Resonanz wird gesprochen, wenn die Frequenz der
antreibenden Kraft der Eigenfrequenz des Oszillators gleicht.
Infolgedessen erhöht sich die Amplitude des Oszillators
gegenüber der Amplitude des Erregers, sodass sich ein
Amplitudenverhätnis ergibt, welches größer 1 ist. Die
Phasendifferenz beträgt , wobei der Erreger dem Massepunkt
vorauseilt.



Hochfrequenter Bereich:

Sollte die Frequenz der antreibenden Kraft viel größer sein als
die Eigenfrequenz des Oszillators so fällt auch die Amplitude
des Oszillators wesentlich kleiner aus. Es ergibt sich ein
Amplitudenverhätnis, welches gegen 0 geht. Auch in diesem Fall
gibt es eine Phasendifferenz , die Schwingungen laufen also
fast gegenphasig ab.


Auch diese Eigenschaften der Oszillatoren sind im Alltag von
Bedeutung. So ist es für Autos wichtig, dass die Eigenfrequenz
einzelner Teilsysteme oder des Gesamtsystems nicht im Bereich
der Motorendrehzahl liegen um eine komfortable und sichere
Fahrt zu gewährleisten. Insbesondere der Resonanzfall kann
gefährliche Auswirkungen haben, da in diesem Fall das System
immer weiter aufgeschaukelt wird und die Amplitude des
Oszillators sich immer weiter erhöht. Falls das System nicht
gedämpft ist, kann die Amplitude bis ins Unedliche steigen, was
zur Zerstörung des Systems führt. Eine starke Dämpfung kann die
maximale Amplitude zwar begrenzen, aber auch in diesem Fall
komm es für den Resonanzfall zu einer starken Belastung des
Systems, was in den meisten Fällen vermieden werden sollte. Ein
gutes Beispiel für eine Resonanzkatastrophe ist die Tacoma
Narrows Bridge, welche durch starke Winde in Schwingung
versetzt wurde, welche sich dann selbsterregt immer weiter
verstärkte, was den Einbruch der Brücke zur Folge hatte.


Demgegenüber bleibt aber zu sagen, dass ohne Resonanz auch
viele alltägliche Dinge nicht möglich wären, es also auch einen
positiven Aspekt gibt. So würde Schaukeln nicht halb so viel
Spaß machen, wenn es nicht möglich wäre seine eigene Schwingung
zu verstärken und somit immer höher Schaukeln zu können. Ein
weiteres typisches Beispiel für den getriebenen harmonischen
Oszillator stellt der elektrische Schwingkreis da, der bei der
drahtlosen Energieübertragung genutzt wird. Das System wird
dabei ständig neu mit Energie aufgeladen, die es dann mittels
sogenannter resonant induktiver Kopplung an einen Empfänger
weitergeben kann, der so kabellos geladen wird.



Weiterführendes

Viele weiterführende Beispiele, die sich des Oszillators mit
schwacher Dämpfung bedienen, sind in der Akustik respektive
Musik zu finden, wie die Schwingung einer (Gitarren-)Seite, die
nach einmaligem Anschlag möglichst lange klingen soll. Doch
hier handelt es sich nicht um einen einfachen harmonischen
Oszillator, sondern um ein komplexeres System.



Literatur und weiterführende Informationen

Viele Experimente und Material zum Fadenpendel für die
Schule findet man z.B. auf leifiphysik.de

Physik des Aufschaukelns

Anschubsen

K. Magnus: Schwingungen, Teubner 1976.

Juan R. Sanmartin: O Botafumeiro: Parametric pumping in the
Middle Ages Anwendung auf das Schwenken des berühmten
Weihrauchfasses in der Kathedrale von Santiago de Compostela,
1984.




Podcasts

Helen: Schaukeln, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz
Podcast, Folge 114, Fakultät für Mathematik, Karlsruher
Institut für Technologie (KIT), 2016.