Tonsysteme

Stephan Ajuvo (@ajuvo) vom damals(tm) Podcast, Damon Lee von der
Hochschule für Musik und Sebastian Ritterbusch trafen sich zu
Gulasch-Programmiernacht 2019 des CCC-Erfakreises Entropia e.V.,
die wieder im ZKM und der HfG Karlsruhe stattfand. Es geht um
Musik, Mathematik und wie es so dazu kam, wie es ist.


Damon Lee unterrichtet seit einem Jahr an der Hochschule für
Musik und befasst sich mit Musik für Film, Theater, Medien und
Videospielen. Im aktuellen Semester verwendet er Unity 3D um mit
räumlicher Musik und Klängen virtuelle Räume im Gaming-Umfeld
umzusetzen. Auch im Forschungsprojekt Terrain wird untersucht, in
wie weit räumliche Klänge eine bessere Orientierungsfähigkeit im
urbanen Umfeld unterstützen können.


Die Idee zu dieser Folge entstand im Nachgang zur gemeinsamen
Aufnahme von Stephan und Sebastian zum Thema Rechenschieber, da
die Musik, wie wir sie kennen, auch ein Rechenproblem besitzt,
und man dieses an jedem Klavier wiederfinden kann. Dazu spielte
Musik auch eine wichtige Rolle in der Technikgeschichte, wie
beispielsweise das Theremin und das Trautonium.


Die Klaviatur eines herkömmlichen Klaviers erscheint mit den
weißen und schwarzen Tasten alle Töne abzubilden, die unser
gewöhnliches Tonsystem mit Noten abbilden kann. Der Ursprung
dieses Tonsystems entstammt aus recht einfachen physikalischen
und mathematischen Eigenschaften: Wird eine Saite halbiert und im
Vergleich zu zuvor in Schwingung gebracht, so verdoppelt sich die
Frequenz und wir hören den einen gleichartigen höheren Ton, der
im Tonsystem auch gleich benannt wird, er ist nur um eine Oktave
höher. Aus einem Kammerton a' mit 440Hz ändert sich in der
Tonhöhe zu a'' mit 880Hz.


Neben einer Verdopplung ergibt auch eine Verdreifachung der
Frequenz einen für uns Menschen angenehmen Klang. Da aber der Ton
über eine Oktave höher liegt, wird dazu der wieder um eine Oktave
tiefere Ton, also der Ton mit 1,5-facher Frequenz betrachtet.
Dieses Tonintervall wie beispielsweise von a' mit 440Hz zu e''
mit 660Hz ist eine (reine) Quinte. Entsprechend des
Quintenzirkels werden so alle 12 unterschiedlichen Halbtöne des
Notensystems innerhalb einer Oktave erreicht.


Nur gibt es hier ein grundsätzliches mathematisches Problem:
Gemäß des Fundamentalsatzes der Arithmetik hat jede Zahl eine
eindeutige Primfaktorzerlegung. Es ist also nicht möglich mit
mehreren Multiplikationen mit 2 zur gleichen Zahl zu gelangen,
die durch Multiplikationen mit 3 erreicht wird. Somit kann der
Quintenzirkel nicht geschlossen sein, sondern ist eigentlich eine
niemals endende Quintenspirale und wir müssten unendlich viele
unterschiedliche Töne statt nur zwölf in einer Oktave haben.


In Zahlen ist . Nach 12 reinen Quinten erreichen wir also nicht
genau den ursprünglichen Ton um 7 Oktaven höher, doch der Abstand
ist nicht sehr groß. Es ist grundsätzlich unmöglich ein endliches
Tonsystem auf der Basis von reinen Oktaven und reinen Quinten zu
erzeugen, und es wurden unterschiedliche Strategien entwickelt,
mit diesem Problem zurecht zu kommen.


Wird das Problem ignoriert und nur die letzte Quinte verkleinert,
damit sie auf den ursprünglichen Ton um sieben Oktaven höher
trifft, so entsteht eine schlimm klingende Wolfsquinte. Auch im
Cello-Bau können durch Wahl der Verhältnisse der Saiten und der
Schwingungsfrequenzen des Korpus fast unspielbare Töne entstehen,
diese werden Wolfston genannt.


In der Musik wird die erforderliche Korrektur von Intervallen
auch Komma-Anpassung genannt, die beispielsweise bei
Streichinstrumenten automatisch, da hier die Töne nicht auf
festen Frequenzen festgelegt sind, sondern durch die
Fingerposition auf dem Griffbrett individuell gespielt wird.


Bei Tasteninstrumenten müssen die Töne aber im Vorfeld
vollständig in ihrer Frequenz festgelegt werden, und hier haben
sich historisch verschiedene Stimmungen ergeben: Nach vielen
Variationen, die immer durch die Wolfsquinte unspielbare Tonarten
beinhalteten, wurde ab 1681 in der Barockzeit von Andreas
Werkmeister die Wohltemperierte Stimmung eingeführt, in der zwar
jede Tonart spielbar, aber jeweils individuelle Stimmungen und
Charaktäre vermittelten. Diese Unterschiede sollen Johann
Sebastian Bach bis 1742 zum Werk Das wohltemperierte Klavier
inspiriert haben, wo er die jeweiligen Eigenheiten aller Tonarten
musikalisch umsetzte.


Die heute am häufigsten verwendete Gleichtstufige oder
Gleichmäßige Stimmung verkleinert alle Quinten statt 1,5 auf den
gleichen Faktor , so dass alle Töne auf die Frequenzen festgelegt
sind. Damit sind alle Tonarten absolut gleichberechtigt gut
spielbar, sie klingen aber auch alle gleich, und haben alle den
gleichen kleinen Fehler. Da aber gerade bei Streichinstrumenten
natürlich passendere Frequenzen gewählt werden, klingen gerade
synthetisch erzeugte Streicher unrealistisch, wenn sie der
exakten gleichstufigen Stimmung folgen.


Während bei der Klavierstimmung die Töne durch die Spannung der
Saiten eingestellt werden können, so werden metallische
Orgelpfeifen mechanisch mit einem Stimmeisen in ihrer Frequenz
angepasst. Die Porzellanorgel ist eine ungewöhnliche unter
anderem in Meissen hergestellte Form, deren Pfeifen natürlich
auch mit Luft und nicht durch Vibration, wie beim
Schlaginstrument des Vibraphons klingen.


György Ligeti, populär bekannt durch Filmmusiken in 2001: Odyssee
im Weltraum und Eyes Wide Shut, hat sich in seinem späteren
Schaffenswerk auch mit exotischeren Tonsystemen auf Basis reiner
Intervalle mit Streichern befasst. Beispielsweise sollte
Continuum, für Cembalo, mit Mitteltöniger Stimmung gespielt
werden.


Um in der herkömmlichen Notation auf der Basis von 12 Halbtönen
auch feinere Tonschritte bezeichnen zu können, wurden die Zeichen
Halb-Kreuz und Halb-b eingeführt, die auf die Viertelton-Musik
führten. Hier stellt sich die interessante Frage, ob eine
Erhöhung auf 24 Tönen pro Oktave bei reinen Intervallen sich der
Fehler reduziert. Diese Frage beantwortet die Berechnung des
entsprechenden Faktors aus Quinten mit dem nächsten Faktor aus
Oktaven und die Berechnung des relativen Fehlers, der korrigiert
werden muss. Bis 53 Quinten haben folgende Kombinationen einen
Fehler von weniger als 7%:
Quinten n 5 7 12 17 24 29 36 41 46 48 53 Oktaven
m 3 4 7 10 14 17 21 24 27 28 31
Fehler5,1%6,8%1,4%3,8%2,8%2,5%4,2%1,1%6,6%5,6%0,2%

Ein sehr primitives Tonsystem kann also mit 5 Tönen aufgestellt
werden, aber offensichtlich treffen 12 Töne deutlich besser. 24
Töne ermöglichen zwar mehr Tonvielfalt, verbessern aber den
Fehler nicht. Erst ein Tonsystem mit 29 Tönen würde bei
gleichstufiger Stimmung einen exakteren Klang als bei 12 Tönen
ermöglichen. Noch besser wäre dann nur noch ein Tonsystem mit 41
Tönen pro Oktave, eine extreme Verbesserung ergibt sich bei 51
Tönen pro Oktave bei entsprechenden Problemen beim Bau einer
solchen Klaviatur. Dazu haben Tonsystemerweiterungen in
Vielfachen von 12 eine höhere Kompatibilität zum herkömmlichen
System, und die Nähe der besseren Tonsysteme mit 29 zu 24 und 53
zu 48 zeigt, dass die Vielfachen in der Aufführung als Näherungen
zu den besseren Darstellungen betrachtet werden können.


Gérard Grisey (z.B. Les espaces acoustiques) und Tristan Murail
sind Vertreter der Spektralisten, die in ihren Partituren
erweiterte Tonsysteme verwenden. Hier sind die Tonangaben jedoch
harmonisch statt melodisch gedacht, sind also in der Aufführung
entsprechend zu interpretieren.


YouTube: Gérard Grisey - Vortex Temporum - Ensemble Recherche


Natürlich dürfen die Töne von Instrumenten nicht nur mit ihrer
Grundfrequenz betrachtet werden, sondern erst das Zusammenspiel
aller Harmonischen und Obertöne in Vielfachen der Grundfrequenz
machen den charakteristischen Klang eines Instruments aus. Durch
eine Fourier-Analyse kann mathematisch ein solches
Frequenzspektrum eines Geräusches oder eines Tons berechnet
werden. Oft ist hier eine überraschende Anzahl von Obertönen zu
sehen, die von Menschen nicht unabhängig vom Grundton gehört
werden.


In der Ottoman Musik finden sich oft für west-europäische Ohren
ungewohnte Harmonien, die aus ihrer langen orientalischen
Geschichte andere Formen der Komposition und Tonsysteme
entwickelt haben.


In der Audioelektronik wurden ab etwa 1912 Röhren für Verstärker
und insbesondere in der Musik verwendet, und die exakte Bauform
der Bleche und Elektroden hatte deutliche Auswirkungen auf die
Übertragung und Erzeugung von Spektren und Audiowellen durch
Verzerrungen.


Die Hammondorgel war eine sehr beliebte elektromechanische Orgel,
wo anstatt von Pfeifen rotierende Zahnräder vor elektrischen
Abnehmern die Töne erzeugten. Mit Hilfe von Röhren wurde in der
DDR versucht, Silbermann-Orgeln als elektronische Orgeln auf
Basis des Prinzips der Hammondorgel nachzubilden. Die Klangfarben
der Silbermann-Orgeln wurden hier durch elektronische
Rekonstruktion der Obertöne nachempfunden.


Was als angenehmer Klang empfunden wird, ist eine persönliche
Sache. Jedoch ist auffällig, dass der harmonische Grundklang
eines Dur-Akkords einen sehr mathematischen Hintergrund hat: Die
Quinte integriert den Faktor 3, bzw. 3/2, also 1.5, die große
Terz den Faktor 5, bzw. 5/4 also 1.25, und die Quarte zur
nächsten Oktave mit Faktor 2 ist der Faktor 4/3. Ein
Zusammenspiel von so kleinen Faktoren wird bei kleinem kleinsten
gemeinsamen Vielfachen wieder periodisch und ergibt einen
gleichmäßigen Klang. Das persönliche Empfinden kann physiologisch
mit dem Aufbau der Hörschnecke zusammenhängen, wird aber auch
stark durch Erfahrungen geprägt.


Musik besteht aber nicht aus einem Klang, sondern einer
zeitlichen Abfolge von Konsonanz und Dissonanz, und das gilt
nicht nur für neue Veröffentlichungen alter Meister von Wolfgang
Rehm. So spielt Ornette Coleman mit den Erwartungen der Hörenden
bis ins Chaos.


YouTube: Ornette Coleman Solo - Rare!


Im Google-Doodle zu Ehren von Johann Sebastian Bach hingegen
versucht aus eine Vorgabe mit einem neuronalen Netz gerade die
erwartete Vervollständigung im Stil von Bach zu komponieren.


Eine Regelmäßigkeit oder Überraschung in der Musik kann auch im
Sinne eines Informationsgehalts interpretiert werden: Sehr
regelmäßige Formen sind vorhersagbar und enthalten wenig
Information, die unerwartete Wendung hingegen trägt viel
Information. Die als algorithmischen Komposition bezeichneten
Werkzeuge werden in vielen Programmen und Geräten angeboten,
beispielsweise als automatische Begleitung. Die Ergebnisse
erscheinen aber nicht sehr kreativ.


Bei der Verwendung von künstlichen neuronalen Netzen für die
Komposition ist es leider nicht möglich im Nachhinein zu
analysieren, warum und wie bestimmte Passagen erzeugt wurden:
Auch wenn sie mit existierenden Beispielen mit Backpropagation
trainiert wurden, arbeiten dann als Black Box, aus der nicht
direkt abstrakte Entscheidungsgrundlagen reproduziert werden
können.


Alles Lernen setzt voraus, dass es ein Maß für die Güte gibt, was
ist demnach die Qualität einer Komposition, was unterscheidet
Kreativität vom Zufall und wo stimmt dies zwischen
unterschiedlichen Menschen überein? Wie an prähistorischen
Instrumenten zu erkennen, ist Klangerzeugung und Musik mit der
Stimmbildung eng mit der Evolution des Menschen verknüpft. Recht
spät entstanden Techniken zur Kodifizierung von Tonfolgen, wie
beispielsweise in der Gregorianik. Es ist anzunehmen, dass der
gesellschaftliche Einfluss auf die Kompositionen ihrer Zeit sehr
groß war, und es jeweils auch besondere Auswirkungen wie die Blue
Notes gegeben hat.


Heute wird Komposition in vielen Schritten gelehrt: Angefangen
von der Musiktheorie, Erlernen von Instrumenten und
Musikgeschichte wird dann in Kompositionstechniken
unterschiedlicher Musikepochen eingeführt. Ausgehend von den
Techniken von Josquin Desprez im 15. Jahrhundert zur Verwendung
des Kontrapunkt im 16. Jahrhundert, oder wie Johann Sebastian
Bach den Kontrapunkt im 18. Jahrhundert nutzte. In den
Notenblättern von Ludwig van Beethoven ist zu erkennen, wie er
von Joseph Haydn das Komponieren auf Basis von Kontrapunkten
erlernte, und auch heute mit seinen inzwischen vom Betthoven-Haus
umfangreich digitalisierte Werk die Musikforschung begeistert.


Ein Lehrkanon kann sich wie Kompositionstechniken über die Zeit
ändern, so wie in der Mathematik früher das Riemannsche Integral
Standard war, so sehen wir inzwischen den Übergang zum
mächtigeren und der Wirklichkeit näheren Integralbegriff nach
Lebesgue. So wie heute häufiger der neuere Begriff zum Einsatz
kommt, so ist es sinnvoll und gut, auch frühere Techniken, wie
auch frühere Kompositionstechniken, zu kennen und daraus lernen
zu können.


Im Berufsbild einer Komponistin oder eines Komponisten ist es
heute meisstens nicht so, dass der Kreativität freien Lauf
gelassen wird, sondern die Arbeit erfolgt in interdisziplinärer
Zusammenarbeit in einem Team. Besonders für Videospielmusik oder
Filmmusik wird die Komposition auf besondere Situationen hin
entwickelt und erarbeitet.


Wie Kreativität, Teamwork, Künstliche Intelligenz und
Programmieren zu neuen Lösungen zusammenwirken kann, war auf der
Gulaschprogrammiernacht auch in der Projektion der
Schlangenprogrammiernacht zu sehen, wo verschiedene Programme als
Schlangen in einer virtuellen Welt miteinander lebten. Der
spielerische Umgang mit Algorithmen wie bei Schere, Stein, Papier
führt schnell auf Spieltheorie und Herausforderungen im
Hochfrequenzhandel.


Literatur und weiterführende Informationen

C.-Z. A. Huang, C. Hawthorne, A. Roberts, M. Dinculescu, J.
Wexler, L. Hong, J. Howcroft: The Bach Doodle: Approachable music
composition with machine learning at scale, ISMIR 2019.

U. Peil: Die chromatische Tonleiter - Mathematik und Physik,
Jahrbuch der Braunschweigischen Wissenschaftlichen Gesellschaft,
2012.

M. Schönewolf: Der Wolf in der Musik.



Podcasts

U. Häse, S. Ajuvo: Theremin, Folge 56 im damals(tm) Podcast,
2018.

N. Ranosch, G. Thäter: Klavierstimmung, Gespräch im
Modellansatz Podcast, Folge 67, Fakultät für Mathematik,
Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2015.

P. Modler, S. Ritterbusch: Raumklang, Folge 8 im Podcast
Neues Terrain, 2019.

R. Pollandt, S. Ajuvo, S. Ritterbusch: Rechenschieber,
Gespräch im damals(tm) und Modellansatz Podcast, Folge 184,
Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie
(KIT), 2018.

S. Ajuvo, S. Ritterbusch: Finanzen damalsTM, Gespräch im
Modellansatz Podcast, Folge 97, Fakultät für Mathematik,
Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016.

S. Brill, T. Pritlove: Das Ohr, CRE: Technik, Kultur,
Gesellschaft, Folge 206, 2014.

C. Conradi: Der erste letzte Ton, Systemfehler Podcast, Folge
26, 12.4.2018.

C. Conradi: Elektronische Orgel made in DDR, Zeitfragen,
Deutschlandfunk Kultur, 12.6.2019.

G. Follmer, H. Klein: WR051 Ortsgespräch, WRINT: Wer redet
ist nicht tot, Folge 51, 2012.



Audiospuren

Tonbeispiele von D. Lee und S. Ritterbusch

MuWi: C-g pythagoräischer Wolf, CC-BY-SA, 2007.

Mdd4696: WolfTone, Public Domain, 2005.

GPN19 Special

P. Packmohr, S. Ritterbusch: Neural Networks, Data Science
Phil, Episode 16, 2019.

P. Packmohr, S. Ritterbusch: Propensity Score Matching,
Gespräch im Modellansatz Podcast, Folge 207, Fakultät für
Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2019.
http://modellansatz.de/propensity-score-matching

C. Haupt, S. Ritterbusch: Research Software Engineering,
Gespräch im Modellansatz Podcast, Folge 208, Fakultät für
Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2019.
http://modellansatz.de/research-software-engineering

D. Lee, S. Ajuvo, S. Ritterbusch: Tonsysteme, Gespräch im
Modellansatz Podcast, Folge 216, Fakultät für Mathematik,
Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2019.
http://modellansatz.de/tonsysteme


GPN18 Special

D. Gnad, S. Ritterbusch: FPGA Seitenkanäle, Gespräch im
Modellansatz Podcast, Folge 177, Fakultät für Mathematik,
Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2018.
http://modellansatz.de/fpga-seitenkanaele

B. Sieker, S. Ritterbusch: Flugunfälle, Gespräch im
Modellansatz Podcast, Folge 175, Fakultät für Mathematik,
Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2018.
http://modellansatz.de/flugunfaelle

A. Rick, S. Ritterbusch: Erdbebensicheres Bauen, Gespräch im
Modellansatz Podcast, Folge 168, Fakultät für Mathematik,
Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2018.
http://modellansatz.de/erdbebensicheres-bauen


GPN17 Special

Sibyllinische Neuigkeiten: GPN17, Folge 4 im Podcast des CCC
Essen, 2017.

A. Rick, S. Ritterbusch: Bézier Stabwerke, Gespräch im
Modellansatz Podcast, Folge 141, Fakultät für Mathematik,
Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2017.
http://modellansatz.de/bezier-stabwerke

F. Magin, S. Ritterbusch: Automated Binary Analysis, Gespräch
im Modellansatz Podcast, Folge 137, Fakultät für Mathematik,
Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2017.
http://modellansatz.de/binary-analyis

M. Lösch, S. Ritterbusch: Smart Meter Gateway, Gespräch im
Modellansatz Podcast, Folge 135, Fakultät für Mathematik,
Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2017.
http://modellansatz.de/smart-meter


GPN16 Special

A. Krause, S. Ritterbusch: Adiabatische Quantencomputer,
Gespräch im Modellansatz Podcast Folge 105, Fakultät für
Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016.
http://modellansatz.de/adiabatische-quantencomputer

S. Ajuvo, S. Ritterbusch: Finanzen damalsTM, Gespräch im
Modellansatz Podcast, Folge 97, Fakultät für Mathematik,
Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016.
http://modellansatz.de/finanzen-damalstm

M. Fürst, S. Ritterbusch: Probabilistische Robotik, Gespräch
im Modellansatz Podcast, Folge 95, Fakultät für Mathematik,
Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016.
http://modellansatz.de/probabilistische-robotik

J. Breitner, S. Ritterbusch: Incredible Proof Machine,
Gespräch im Modellansatz Podcast, Folge 78, Fakultät für
Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016.
http://modellansatz.de/incredible-proof-machine