Formoptimierung

Gudrun spricht mit Henrieke Benner über deren Masterarbeit
"Adaption and Implementation of Conventional Mesh Smoothing
Techniques for the Applicability in the Industrial Process of
Automated Shape Optimization", die in Zusammenarbeit von Henrieke
und Gudrun mit der Firma Dassault entstanden ist.


Unser Leben wird bestimmt durch industriell hergestellte Dinge.
Im Alltag nutzen wir zum Beispiel Toaster, Waschmaschinen,
Fernseher und Smartphones. Fahrräder, Autos, Züge und Flugzeuge
transportieren uns und wir denken wenig darüber nach, wie es dazu
kam, dass sie genau diese Form und das gewählte Material haben,
solange alles funktioniert.


Für die Industrie, die all diese Gegenstände baut, zerfällt der
Prozess der Entwicklung neuer Produkte in viele Entscheidungen
über Form und Material einzelner Bauteile. Traditionell wurde
hier verändert und ausprobiert, aber seit einigen Jahrzehnten
sind Computer eine große Hilfe. Mit Ihnen können


Bilder von noch nicht existierenden Produkten erschafft
werden, die sich diese von allen Seiten, auch von innen und in
Bewegung darstellen,

mit Hilfe von Simulationsprogrammen Experimente zur Qualität
gemacht werden,

bestmögliche Formen gefunden werden.



In der Masterarbeit geht es um die Optimierung der Form von
Objekten am Computer - schnell und möglichst automatisch. Es
liegt in der Natur der Aufgabe, dass hier mehrere Wissensfelder
zusammentreffen:


mechanische Modelle,

Computer Strukturen und wie man dort beispielsweise Modelle
von Objekten abbilden kann,

Optimierungsmethoden,

numerische Verfahren.



Als Rahmen dient für Arbeit das Strukturoptimierungsprogrammpaket
TOSCA, das von Dassault Systèmes am Standort in Karlsruhe
(weiter)entwickelt wird und weltweit als Software-Tool,
eingebunden in Simulationsschleifen, genutzt wird, um Bauteile zu
optimieren. Für die Numerik werden Finite Elemente Verfahren
genutzt.


Grundlage einer jeden Strukturoptimierung ist ein mathematisches
Optimierungsproblem unter Nebenbedingungen. Dazu werden eine
Zielgröße und mehrere Nebenbedingungen definiert. Die Zielgröße
ist dabei abhängig von zu bestimmenden Variablen, die als
Unbekannte oder Optimierungsparameter bezeichnet werden. Die
Nebenbedingungen sind Bedingungen an die Variablen, die erfüllt
sein müssen, damit die Löung ”gültig“ ist. Das Ziel der
Optimierung ist nun die Minimierung der Zielgröße unter
Einhaltung der Nebenbedingungen.


Um das Problem zu lösen, gibt es eine Bandbreite verschiedener
Löungsmöglichkeiten, jeweils zugeschnitten auf das genaue
Problem. Alle Löser bzw. Minimierungsprobleme haben jedoch
gemein, dass sowohl die Konvexität der Zielfunktion als auch die
Konvexität des Designgebiets von fundamentaler Bedeutung für die
Lösbarkeit des Problems sind.


Wenden wir uns nun dem Gebiet der Strukturoptimierung zu, so
besteht anfangs zunächst die Hüde, ein mechanisches Problem mit
Hilfe von Computer-Aided-Design Software (CAD) auszudrücken. Um
die Belastungen des Bauteils zu berechnen, nutzt man anschließend
Finite-Element-Analysis Software (FEA). Das
Strukturoptimierungspaket TOSCA bietet anschließend mehrere
Möglichkeiten zur Optimierung an. Relevant ist für das
vorliegende Problem jedoch nur die Formoptimierung. Sie setzt
ihre Ziel- und Restriktionsfunktionen aus Steifigkeit, Volumen,
Verschiebung, inneren Kräften und Widerstandsmoment zusammen. Um
eine Formoptimierung zu starten, muss zunächst vom Nutzer eine
Triangulierung zur Verfügung gestellt werden, mit der die Werte
der Ziel und Restriktionsfunktion berechnet werden. Während der
Optimierung werden die Positionen der Oberflächenknoten variiert.
Beispielsweise wird Material an Stellen hoher Spannung
hinzugefügt und an Stellen niedriger Spannung entfernt.


Problematisch an der Formoptimierung ist, dass sich die Qualität
der finiten Elemente durch die Bewegung der Oberflächenknoten
verändert. Modifiziert man nur die Oberflächenknoten, so entsteht
ein unregelmäßiges Netz, welches keine gleichmäßigen finiten
Elemente enthält oder schlimmstenfalls keine gültige Zerlegung
der modifizierten Komponente ist. Die auf der ungültigen
Triangulierten durchgeführten Berechnungen der Zielgrößen sind
daher nicht mehr zuverlässig. Abhilfe kann nur geschaffen werden,
wenn das Netz nach jedem Iterationschritt geglättet wird.


Im Rahmen von Henriekes Arbeit werden zwei Ansätze zur
Netzglättung implementiert, diskutiert und miteinander
verglichen: Glättung durch den Laplace Operator und Qualitätsmaße
für das Finite Elemente Gitter. Die Anwendung des Laplace
Operators ist theoretisch die fundiertere Variante, aber in der
numerischen Umsetzung sehr aufwändig.


Literatur und weiterführende Informationen

M.M. Selim; R.P. Koomullil: Mesh Deformation Approaches - A
Survey. Journal of Physical Mathematics, 7, 2016.
http://dx.doi.org/10.4172/2090-0902.1000181

C. Dai, H.-L. Liu, L. Dong: A comparison of objective
functions of optimization-based smoothing algorithm for
tetrahedral mesh improvement. Journal of theoretical and applied
mechanics, 52(1):151–163, 2014.

L. Harzheim. Strukturoptimierung: Grundlagen und Anwendungen.
Deutsch, 2008.

David A. Field: Laplacian Smoothing and Delaunay
Triangulations. Communications in Applied Numerical Methods,
4:709 – 712, 1988.



Podcasts

M. An, G. Thäter: Topologieoptimierung, Gespräch im
Modellansatz Podcast, Folge 125, Fakultät für Mathematik,
Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2017.

P. Allinger, N. Stockelkamp, G. Thäter: Strukturoptimierung,
Gespräch im Modellansatz Podcast, Folge 053, Fakultät für
Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2015.

G. Thäter, H. Benner: Fußgänger, Gespräch im Modellansatz
Podcast, Folge 43, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut
für Technologie (KIT), 2015