Frequenzkämme

Gudrun traf sich zum Gespräch mit Janina Gärtner. Sie hat an der
KIT-Fakultät Mathematik gerade ihre Promotion mit dem Titel
"Continuation and Bifurcation of Frequency Combs Modeled by the
Lugiato-Lefever Equation" abgeschlossen. Die Arbeit war Teil der
Forschung im SFB 1173: Wellenphänomene und ist interdisziplinär
zwischen Mathematik und Elektrotechnik entstanden. Im Zentrum
stehen Frequenzkämme, die Janina theoretisch und praktisch
betrachtete. Einerseits geht es um analytische Untersuchungen zur
Existenz und Regularität von bestimmten Lösungen der zugehörigen
Gleichung. Andererseits werden numerisch bestimmte Fälle gelöst,
für die sich die Arbeitsgruppe in der E-Technik besonders
interessiert.


Frequenzkämme sind optische Signale, die aus vielen Frequenzen
bestehen und mehrere Oktaven überspannen können. Sie entstehen
beispielsweise indem monochromatisches Laserlicht in einen
Ringresonator eingekoppelt wird und die resonanten Moden des
Ringresonators angeregt werden. Durch Mischung und aufgrund des
nichtlinearen Kerr-Effekts des Resonatormaterials werden
Frequenzkämme mit unterschiedlichen Eigenschaften erzeugt. Die
mathematische Beschreibung des elektrischen Feldes innerhalb des
Ringresonators erfolgt durch die Lugiato-Lefever Gleichung. Von
besonderem Interesse sind dabei sog. Solitonen-Kerrkämme
(„Soliton Kerr Combs“ oder auch „Dissipative Kerr-Soliton
Combs“), die aus im Resonator umlaufenden zeitlich und räumlich
stark lokalisierten Solitonen-Impulsen entstehen.
Solitonen-Kerrkämme zeichnen sich durch eine hohe Zahl an
Kammlinien und damit eine große optische Bandbreite, durch
geringes Phasenrauschen und durch eine hohe Robustheit aus.


Ausgangspunkt von Janinas Untersuchungen ist der Existenzbeweis
von Soliton-artigen Frequenzkämmen für den Fall, dass die
Dispersion positiv ist. Anschließend können die Parameterbereiche
angegeben werden, für die das praktisch auftritt.


Mathematisch ist der erste Trick, dass man sich auf zeitlich
konstante (stationäre) Lösungen beschränkt. Da örtlich nur eine
Variable betrachtet wird, wird aus der partiellen eine
gewöhnliche Differentialgleichung. Für diese Gleichung betrachtet
Janina zunächst einen sehr einfachen Fall (sogenannte homokline
Triviallösungen): Lösungen, die gegen eine Konstante streben. Die
Gleichung wird dafür zunächst ohne Dämpfungs- und ohne
Anregungsterme betrachtet. Es zeigt sich, dass die einzigen
homoklinen Lösungen rein imaginär sind. Anschließend wird zuerst
die Anregung hinzugenommen und mit Aussagen zu Eindeutigkeit und
Verzweigungen können die Lösungen hier fortgesetzt werden. Selbst
nach Hinzunahme der Dämpfung funktionieren noch
Fortsetzungsargumente in einer gewissen Umgebung. Das passt aber
gut zu der Idee, dass man die Verzweigungsstellen finden
möchte.
Mit Hilfe der Software pde2path können analytisch alle
Verzweigungspunkte bestimmt werden. Anschließend werden anhand
von konkreten Beispielen alle primären Verzweigungen vom Ast der
Triviallösungen bestimmt. Dies führt zu einer Karte von Lösungen
und Stabilitätseigenschaften in der Phasen-Ebene, die sehr gut
mit vereinfachten Stabilitätskriterien für nichtperiodische
Lösungen übereinstimmt. Daraus werden Heuristiken zum Auffinden
der im Zeitbereich am stärksten lokalisierten Frequenzkämme
abgeleitet.


Janina hat ein Lehramtsstudium Mathematik/Physik am KIT
absolviert. Als sie sich für ihre Zulassungsarbeit mit einem
mathematischen Thema auseinandergesetzt hat, bekam sie Lust, die
mathematische Seite ihrer Ausbildung zum Master Mathematik zu
vervollständigen. Anschließend hat sie eine Promotionsstelle in
der KIT-Fakultät für Mathematik angenommen, wo sie auch im
Schülerlabor Mathematik tätig war. Mit der Gründung des SFB hat
sie sich schließlich ganz auf das besprochene Forschungsthema
konzentriert.


Literatur und weiterführende Informationen

Herr, T. et al. Temporal solitons in optical microresonators.
Nat. Photon. 8, 145–152, 2014.

N. Akhmediev & A. Ankiewicz: Dissipative Solitons: From
Optics to Biology and Medicine, Springer, 2008.

Marin-Palomo, Pablo, et al.: Microresonator-based solitons
for massively parallel coherent optical communications, Nature
546.7657: 274, 2017.

Trocha, Philipp, et al. :Ultrafast optical ranging using
microresonator soliton frequency combs, Science 359.6378:
887-891, 2018.



Podcasts

A. Kirsch, G. Thäter: Lehramtsausbildung, Gespräch im
Modellansatz Podcast, Folge 104, Fakultät für Mathematik,
Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016.

E. Dittrich, G. Thäter: Schülerlabor, Gespräch im
Modellansatz Podcast, Folge 103, Fakultät für Mathematik,
Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016.

K. Sobotta, H. Klein: Schülerlabore, Resonator-Podcast, Folge
59, Holger Klein/Helmholtz-Gemeinschaft, 2015.