InfSup-Bedingung

Am 6. Juni 2018 hat Dietmar Gallistl seine Antrittsvorlesung
gehalten. Dies ist der traditionelle Abschluss jedes
Habilitationsverfahrens an der KIT-Fakultät für Mathematik. Der
Titel des Vortrags lautete: Die Stabilitätskonstante des
Divergenzoperators und ihre numerische Bestimmung.


Im Zentrum des Vortrags und des Gespräches mit Gudrun stand die
Inf-sup-Bedingung, die u.a. in der Strömungsrechnung eine
zentrale Rolle spielt. Das lineare Strömungsproblem
(Stokesproblem) besteht aus einer elliptischen
Vektor-Differentialgleichung für das Geschwindigkeitsfeld und den
Gradienten des Drucks und einer zweiten Gleichung. Diese entsteht
unter der Annahme, dass es zu keiner Volumenänderung im Fluid
unter Druck kommt (sogenannte Inkompressibilität) aus der
Masseerhaltung. Mathematisch ist es die Bedingung, dass die
Divergenz des Geschwindigkeitsfeldes Null ist. Physikalisch ist
es eine Nebenbedingung. In der Behandlung des Problems sowohl in
der Analysis als auch in der Numerik wird häufig ein Lösungsraum
gewählt, in dem diese Bedingung automatisch erfüllt ist. Damit
verschwindet der Term mit dem Druck aus der Gleichung. Für das
Geschwindigkeitsfeld ist dann mit Hilfe des Lax-Milgram Satzes
eine eindeutige Lösung garantiert. Allerdings nicht für den
Druck.


Genau genommen entsteht nämlich ein Sattelpunktproblem sobald man
den Druck nicht ausblendet. Dieses ist nicht wohlgestellt, weil
man keine natürlichen Schranken hat. Unter einer zusätzlichen
Bedingung ist es aber möglich, hier auch die Existenz des Druckes
zu sichern (und zwar sowohl analytisch als auch später im
numerischen Verfahren solange der endliche Raum ein Unterraum des
analytischen Raumes ist). Diese heißt entweder inf-sup Bedingung
oder aber nach den vielen Müttern und Vätern:
Ladyzhenska-Babushka-Brezzi-Bedingung.


Die Konstante in der Bedingung geht direkt in verschiedene
Abschätzungen ein und es wäre deshalb schön, sie genau zu kennen.
Ein Hilfsmittel bei der geschickten numerischen Approximation ist
die Helmholtzzerlegung des L2. Diese besagt, dass sich jedes Feld
eindeutig in zwei Teile zerlegen läßt, von der eines ein Gradient
ist und der andere schwach divergenzfrei. Es lassen sich dann
beide Teile getrennt betrachten. Man konstruiert den gemischten
Finite Elemente Raum so, dass im Druck stückweise polynomielle
Funktionen (mit Mittelwert 0) auftreten und und für den Raum der
Geschwindigkeitsgradienten das orthogonale kompelemt der schwach
divergenzfreien Raviart-Thomas-Elemente gewählt ist.


Dietmar Gallistl hat in Freiburg und Berlin Mathematik studiert
und promovierte 2014 an der Humboldt-Universität zu Berlin. Nach
Karlsruhe kam er als Nachwuchsgruppenleiter im SFB Wellenphänome
- nahm aber schon kurz darauf in Heidelberg die Vertretung einer
Professur wahr. Zur Zeit ist er als Assistant Professor an der
Universität Twente tätig.

Literatur und weiterführende Informationen

D. Gallistl. Rayleigh-Ritz approximation of the inf-sup
constant for the divergence. Math. Comp. (2018) Published online,
https://doi.org/10.1090/mcom/3327

Ch. Bernardi, M. Costabel, M. Dauge, and V. Girault,
Continuity properties of the inf-sup constant for the divergence,
SIAM J. Math. Anal. 48 (2016), no. 2, 1250–1271.
https://doi.org/10.1137/15M1044989

M. Costabel and M. Dauge, On the inequalities of
Babuška-Aziz, Friedrichs and Horgan-Payne, Arch. Ration. Mech.
Anal. 217 (2015), no. 3, 873–898.
https://doi.org/10.1007/s00205-015-0845-2

D. Boffi, F. Brezzi, and M. Fortin, Mixed finite element
methods and applications, Springer Series in Computational
Mathematics, vol. 44, Springer, Heidelberg, 2013.


Podcasts

J. Babutzka: Helmholtzzerlegung, Gespräch mit G. Thäter im
Modellansatz Podcast, Folge 85, Fakultät für Mathematik,
Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016.

M. Steinhauer: Reguläre Strömungen, Gespräch mit G. Thäter im
Modellansatz Podcast, Folge 113, Fakultät für Mathematik,
Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016