Mikroelektromechanische Systeme

Christina Lienstromberg von der Leibniz Universität in Hannover
war im Februar 2018 zu Gast an unserer Fakultät. In einem Vortrag
stellte sie mathematische Forschungsergebnisse zu Modellen für
Mikrosysteme (auch mikroelektromechanische Systemen bzw. MEMS)
vor. Christina hat in Hannover Mathematik studiert und auch
promoviert und ist dort als Postdoc tätig.


MEMS ist eine Technologie mikroskopisch kleiner Apparate mit
beweglichen Teilen. Die Geräte bestehen aus Bauteilen mit einer
Größe zwischen 1 und 100 Mikrometern (d.h. 0,001 bis 0,1 mm), und
MEMS-Bauteile haben in der Regel eine Größe von 20 Mikrometern
bis zu einem Millimeter (d.h. 0,02 bis 1,0 mm). Sie bestehen in
der Regel aus einer Zentraleinheit, die Daten verarbeitet - dem
Mikroprozessor - und mehreren Komponenten, die mit der Umgebung
interagieren, wie beispielsweise winzigen Sensoren. Aufgrund des
großen Flächen-Volumen-Verhältnisses von MEMS sind die Kräfte,
die durch den umgebenden Elektromagnetismus (z.B.
elektrostatische Aufladungen und magnetische Momente) und die
Fluiddynamik (z.B. Oberflächenspannung und Viskosität)
hervorgerufen werden, wichtiger als bei größeren mechanischen
Geräten.


MEMS befinden sich unter anderem in Airbags und Laptops und
beobachten die Beschleunigung, um entsprechend reagieren zu
können. So stellen sie fest, dass sich ein Computer im freien
Fall befindet und setzen während des Sturzes den Lesekopf der
Festplatte in Parkposition. Oder sie dienen der mechanische
Bildstabilisierung in Fotoapparaten. Interessante
Weiterentwicklungen werden unter dem Namen Mikrofluidik
zusammengefaßt und sind schon jetzt im Einsatz in
Tintenstrahl-Druckköpfen oder Lab-on-a-Chip-Systemen.


Die mathematischen Modelle, die Christina und ihre Kollegen
betrachten, sind zweidimensionale Schnitte durch ein Gebiet, das
eine feste Bodenplatte hat und eine bewegliche Membran darüber,
die auf beiden Seiten fest eingespannt ist, aber auf ein
elektrisches Potential durch Bewegung reagiert. Viel Information
über das System wird in der Durchlässigkeit der Membran
ausgedrückt, auch Permittivitätsprofil genannt. Unterschiedliche
Systeme von Differentialgleichungen dienen als Modelle, je nach
physikalischer Herleitung. In jedem Fall ist ein entweder semi-
oder quasilineares hyperbolisches oder parabolisches
Evolutionsproblem für die Auslenkung einer elastischen Membran
mit einem elliptischen Problem gekoppelt, das das
elektrostatische Potential im Bereich zwischen der elastischen
Membran und der starren Grundplatte bestimmt.


Von besonderem Interesse bei allen Modellen ist der Einfluss
verschiedener Klassen von Permittivitätsprofilen. Außerdem ist
das mögliche Auftreten von Singularitäten nach endlicher Zeit
spannend, wenn sich z.B. die Membran und die Bodenplatte treffen.


Es zeigt sich, dass das System für alle Werte der angelegten
Spannung räumlich und zeitlich wohlgestellt ist. Darüber hinaus
wird überprüft, dass die Lösung auch global in der Zeit
existiert, vorausgesetzt, dass die angelegte Spannung einen
bestimmten kritischen Wert nicht überschreitet.


Literatur und weiterführende Informationen

J. Escher, P. Laurençot, C. Walker: A parabolic free boundary
problem modeling electrostatic MEMS, Arch. Rational Mech. Anal.,
211,389-417, 2014.

C. Lienstromberg, J. Escher: A survey on second-order free
boundary value problems modelling MEMS with general permittivity
profile, Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. S 10, no. 4, 745–771,
2017.

C. Lienstromberg, J. Escher: Finite-time singularities of
solutions to microelectromechanical systems with general
permittivity, Ann. Mat. Pura Appl. (4) 195 (2016), no. 6,
1961–1976.

J.A. Pelesko, D.H. Bernstein: Modeling MEMS and NEMS, CRC
Press Inc, ISBN 1584883065, 2002.

X. Zhao: Modeling and Simulation of MEMS Devices,
PhD-Dissertation submitted to the Faculty of the Virginia
Polytechnic Institute and State University, 2004.