Poroelastische Medien

Jonathan Fröhlich hat im Juli 2017 seine Masterarbeit zum Thema
"Heterogeneous Multiscale Methods for Poroelastic Media"
eingereicht. Sie wurde von Professor Christian Wieners in unserem
Institut betreut. Strömungs- und Transportphänomene in
sogenannten porösen Medien spielen eine wichtige Rolle in einem
breiten Spektrum von Bereichen und Anwendungen, wie zum Beispiel
in der Landwirtschaft, der Biomedizin, der Baugeologie und der
Erdöltechnik. Betrachtet man beispielsweise den Boden, so stellt
man fest, dass der Sand, das Gestein oder der Kies keine homogene
Masse ist mit homogenen Materialeigenschaften, sondern aus
unzähligen unterschiedlich großen und in den physikalischen
Eigenschaften variierenden Teilen bestehen. Die hohe
Heterogenität solcher Medien führt auf eine große Komplexität,
die im Modell des porösen Mediums stark vereinfacht betrachtet
wird. Es liegt deshalb die Frage nahe: Wie verallgemeinert man
herkömmliche Modelle für poröse Medien so, dass nicht gleich die
komplette Zusammensetzung benötigt wird, aber mehr von der
Struktur berücksichtigt wird?


Die vorliegende Arbeit und unser Gespräch konzentrieren sich auf
einen Spezialfall, nämlich die einphasige Strömung durch
poroelastische Medien. Sie sind gekennzeichnet durch die
Wechselwirkung zwischen der Beanspruchung der intrinisischen
Struktur und der Strömung der Flüssigkeit. Konkret erzwingt die
Änderung des Flüssigkeitsdrucks eine Beanspruchung des Materials,
wodurch es beschleunigt und bewegt wird. Ein Beispiel hierfür ist
der Blutfluß durch Adern. Das Blut verändert im Fließen ständig
die konkrete Geometrie der elastisch verformbaren Adern und
gleichzeitig ändern die Adern die Fließrichtung und
-geschwindigkeit des Blutes. Dieser Prozeß wird mit bestimmten
partiellen Differentialgleichungen (PDEs) modelliert. Jonathan
verwendete das von Biot (1941) eingeführte linearisierte Modell
und erweitert es zu einem quasistatischen Konsolidationsmodell
für die Bodenmechanik.


Solche Probleme sind charakterisiert durch die enorme Größe des
betrachteten Gebietes, beispielsweise mehrere Kilometer an
Flussbett. Dies steht im Kontrast zu den sehr kleineskaligen
geometrischen Informationen, wie Sandkorngrößen und -formen, die
einen Einfluss auf das System haben. Die standardmäßige
Finite-Elemente-Methode zur numerischen Lösung dieses Systems von
PDEs wird nur dann gute Ergebnisse liefern, wenn die Auflösung
des Netzes wirklich extrem hoch ist. Dies würde zu nicht
realisierbaren Rechenzeiten führen. Deshalb wird eine Idee von E
und Engquist benutzt, die sogenannte Finite Element Heterogene
Multiskalen Methode (FE-HMM) von 2003. Sie entkoppelt den
heterogenen Teil und löst ihn durch ein mikroskopisch
modelliertes Problem. Das makroskopische Problem braucht dann nur
ein viel gröberes Netz und benutzt die Informationen aus dem
mikroskopischen Teil als Daten.


Mathematisch gesehen verwendet die Theorie eine schwache
Formulierung mit Hilfe von Bilinearformen und sucht nach Lösungen
in Sobolev-Räumen. Die passende Numerik für das makroskopische
Problem ist eine gemischte Finite-Elemente-Methode für ein
gestörtes Sattelpunktproblem. Deshalb müssen für Existenz und
Eindeutigkeit von schwachen Lösungen bestimmte Bedingungen
erfüllt sein, die der klassischen LBB-Bedingung (auch
inf-sup-Bedingung genannt) ähnlich sind. Das zu lösende
mikroskopische Problem ist elliptisch und wird mithilfe
klassischer Homogenisierungstheorie hergeleitet, wobei
zusätzliche Bedingungen zur Sicherung der Zwei-Skalen Konvergenz
erfüllt werden müssen.


Literatur und weiterführende Informationen

Maurice A. Biot: General Theory of Three‐Dimensional
Consolidation Journal of Applied Physics 12, 155, 1941.

E. Weinan, Björn Engquist: The Heterogeneous Multiscale
MethodsCommunications in Mathematical Sciences, Volume 1, Number
1, 87-132, 2003.

M. Sahimi: Flow and Transport in Porous Media and Fractured
Rock Wiley Weinheim, 2011.

Assyr Abdulle e.a.: The heterogeneous multiscale method Acta
Numerica Volume 21, pp. 1-87, 2012.



Podcasts

J. Fröhlich: Getriebeauswahl, Gespräch mit G. Thäter im
Modellansatz Podcast, Folge 028, Fakultät für Mathematik,
Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2014.

L.L.X. Augusto: Filters, Gespräch mit G. Thäter im
Modellansatz Podcast, Folge 112, Fakultät für Mathematik,
Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016.