Construction of Quantum Symmetries for Realistic Field Theories on Noncommutative Spaces

Die nichtkommutative Geometrie stellt den ältesten Zugang zur
Regularisierung von Ultraviolettdivergenzen der
Punktwechselwirkungen in der Stöhrungstheorie dar. Dieser Zugang
ist eine Verallgemeinerung der Quantenmechanik. Die Regularisierung
erfolgt durch nichtverschwindende Unschärferelationen, die sich aus
der neu eingeführten Nichtkommutativität der Ortsoperatoren ergibt.
Zusätzlich ist das Ortseigenwertspektrum quantisiert - der messbare
Raum erhält eine diskrete Struktur. Diese wird physikalisch als
gravitativer Hochenergieeffekt auf der Planck-Skala verstanden. Der
Bruch der Poincaré-Symmetrie durch nichkommutative Ortsoperatoren
stellt die zentrale technische Problematik der nichtkommutativen
Geometrie dar. Die mathematische Handhabung dieser Problemstellung
ist aufwendig und wird im mathematischen Fachgebiet der
Quantengruppen behandelt. Die mathematische Entwicklung hat sich
dabei teilweise von den Bedürfnissen der Physik entfernt. Diese
Doktorarbeit leistet einen Betrag dazu, Quantengruppen für die
Anforderungen der Quantenfeldtheorie besser zugänglich zu machen.
Zu diesem Zweck wird im Rahmen dieser Arbeit die Quantisierung der
Poincaré-Algebra für nichtkommutative Räume mit kanonischen
Kommutatorrelationen berechnet. Diese Räume sind äusserst populär
unter Feldtheoretikern und verfügten bisher nur über
Translationsinvarianz. Die Deformationen werden über einen
notwendigen Satz von Bedingungen und einem allgemeinen Ansatz für
die Lorentz-Generatoren bestimmt. Es wird eine zweiparametrige
Schar von äquivalenten aber nichttrivialen Deformationen der
Poincaré-Algebra erhalten. Die vollständige Hopf-Struktur wird
berechnet und bewiesen. Casimir-Operatoren und Raumzeitinvarianten
werden bestimmt. Desweiteren wird ein allgemeines
Quantisierungsverfahren entwickelt, in dem die universelle
Einhüllende von Matrix-Darstellungen von Lie-Algebren in eine
eigens konstruierte Hopf-Algebra von Vektorfeldern als Unteralgebra
eingebettet wird. Die unter Physikern populären Sternprodukte
können damit generell zur Twist-Quantisierung von Lie-Algebren
verwendet werden. Da die Hopf-Algebra der Vektorfelder grösser ist
als die universelle Einhüllende der Lie-Algebra, sind allgemeinere
Deformationen möglich als bisher. Dieses Verfahren wird weiterhin
auf die Heisenbergalgebra mit Minkowski-Signatur angewendet.
Dadurch erhält man eine fundamentale Verallgemeinerung der
Quantenmechanik, motiviert als gravitativer Hochenergieeffekt.
Nichtkommutativität wird dadurch in Abhängigkeit von Energie und
Impuls gesetzt. Technisch wird dazu das Quantisierungsverfahren von
Weyl und Moyal formalisiert. Die Mehrfachanwendung von Twists wird
eingeführt.