Untersuchung nichtkommutativer Räume als Grundlage für physikalische Probleme

Aufgrund der in der Quantenfeldtheorie auftretenden Singularitäten
und der Inkonsistenzen beim Versuch einer Quantisierung der
Gravitation wird oft angenommen, dass die glatte kommutative
Raumzeit-Struktur bei sehr kleinen Abständen, und entsprechend sehr
hohen Energien, nichtkommutativ wird. In dieser Arbeit werden
solche nichtkommutativen Strukturen untersucht. Explizit werden sie
durch eine Algebra von nichtkommutierenden Koordinaten beschrieben,
welche die Funktionenalgebra eines kommutativen Raums ersetzt. Eine
besondere Rolle spielen so genannte q-deformierte Quantenräume, da
bei diesen nicht nur der Raum selbst nichtkommutativ wird, sondern
die Symmetriegruppe des Raumes ebenfalls abgeändert wird. Auf diese
Weise erhält man Quantengruppen. Im ersten Teil der Arbeit wird als
spezielles Beispiel der q-deformierte dreidimensionale euklidische
Raum studiert. Um die Darstellungen in einfacher Weise zu gewinnen,
wird die den Raum definierende Algebra im Produkt zweier
miteinander kommutierender Algebren realisiert. Weiter wird mit
Hilfe dieser Zerlegung die nichtkommutative Algebra in die Algebra
der Dierenzialoperatoren auf dem kommutativen R3 eingebettet. Die
Koordinatenalgebra wird dann noch um Impulsoperatoren erweitert,
womit man eine q-deformierte Heisenbergalgebra erhält. Es werden
Darstellungen dieser Algebra betrachtet; insbesondere wird sie auf
der Koordinatenalgebra selbst realisiert, dies entspricht der
Ortsdarstellung in der gewöhnlichen Quantenmechanik. Eichtheorien
bilden eine Möglichkeit, konkrete physikalische Modelle zu
erhalten. Der zweite Teil der Arbeit beschäftigt sich daher mit dem
Versuch, Eichtheorien auf nichtkommutativen Räumen zu formulieren.
Dazu wird zunächst das Konzept kovarianter Koordinaten und
kovarianter Ableitungen eingeführt. Mit diesen können Tensoren
konstruiert werden, die der Feldstärke in gewöhnlichen Eichtheorien
entsprechen. Mit Hilfe dieser Tensoren erhält man eine Wirkung,
welche eine Beschreibung der Dynamik der Eichfelder ermöglicht. Es
stellt sich heraus, dass es möglich ist, Eichtheorien auf
nichtkommutativen Räumen mit Eichtheorien auf kommutativen Räumen
in Verbindung zu bringen (Seiberg-Witten-Abbildung). Dies wird
insbesondere unter dem Gesichtspunkt vorgestellt, dass es damit
möglich ist, einhüllenwertige Eichtheorien mit endlich vielen
Eichfeldkomponenten und Eichparametern zu beschreiben. Zur
Konstruktion dieser Abbildung wird das Sternprodukt von Funktionen
kommutierender Variabler benutzt. Es wird daher eine kurze
Einführung in den Sternformalismus gegeben, und es werden auch
einige nichtkommutative Strukturen als Beispiele behandelt.