Spin Representations of the q-Poincare Algebra

In der Quantenmechanik können freie Elementarteilchen durch
irreduzible Darstellungen der Poincare-Algebra beschrieben werden.
Im Rahmen der Darstellungtheorie der q-deformierten
Poincaré-Algebra untersucht diese Arbeit den Spin von Teilchen auf
einer nichtkommutativen Geometrie. Zunaechst wird eine Uebersicht
ueber die Konstruktion der q-Lorentz-Algebra gegeben. Ausgehend von
q-Spinoren, wird die q-Lorentz-Gruppe und die zu ihr duale
q-Lorentz-Algebra konstruiert. Dabei soll gezeigt werden, dass die
q-Lorentz-Algebra weitgehend durch mathematische
Konsistenzbedingungen festgelegt ist. Anschliessend wird die
Struktur der q-Lorentz-Algebra untersucht. Ihre Darstellungstheorie
einschliesslich expliziter Formeln fuer die
q-Clebsch-Gordan-Koeffzienten wird zusammengefasst. Nach einer
allgemeinen Betrachtung von Tensor-Operatoren in Hopf-Algebren
werden die Vektorgeneratoren der Quantenalgebra der Drehungen
berechnet. Zwei weitere Formen der q-Lorentz-Algebra, die
vektorielle oder RS-Form (Wess) und die Quantendoppel-Form
(Woronowicz), werden vorgestellt. Ein Isomorphismus zwischen beiden
Formen wird gefunden. Die Darstellungstheorie der q-Lorentz-Algebra
wird verwendet, um die Algebra des q-Minkowski-Raumes zu
konstruieren. Vertauschungsregeln zwischen den Erzeugern der
q-Minkowski-Algebra und den verschiedenen Formen der
q-Lorentz-Algebra werden angegeben. Die Struktur der von Rotationen
und Translationen erzeugten q-Euklidischen Algebra wird eingehend
untersucht und dadurch ihr Zentrum bestimmt. Daraus können
zunaechst die nullte Komponente und schliesslich alle Komponenten
des q-Pauli-Lubanski-Vektor bestimmt werden. Mit dem
q-Pauli-Lubanski-Vektor können die Algebren der Spin-Symmetrie, die
kleinen Algebren, berechnet werden, sowohl fuer den massiven als
auch den masselosen Fall. Irreduzible Spin-Darstellungen der
q-Poincaré-Algebra werden konstruiert. Zunaechst werden
Darstellungen in einer physikalisch interpretierbaren
Drehimpuls-Basis berechnet. Die Berechnungen werden dabei durch die
Verwendung des q-Wigner-Eckart-Theorems stark vereinfacht.
Anschliessend wird gezeigt, wie Darstellungen durch die Methode der
Induktion gewonnen werden können. Ausgehend von einer
darstellungstheoretischen Interpretation von Wellengleichungen
werden schlielich freie q-relativistische Wellengleichungen
bestimmt. Dazu werden zunächst allgemeine Betrachtungen zu
q-Lorentz-Spinoren, konjugierten Spinoren und dem Verhaeltnis von
q-Impulsen und q-Ableitungen auf den Spinor-Darstellungen
angestellt. Als Beispiele werden die q-Dirac-Gleichung, die
q-Weyl-Gleichungen und die q-Maxwell-Gleichungen eindeutig
bestimmt.