Field Theoretical Models on Non-Commutative Spaces

Aus vielen voneinander unabhängigen Überlegungen wird klar, daß die
Raum-Zeit im Kleinen, oder mit sehr großen Energien betrachtet, in
irgendeiner Form nichtkommutativ oder quantisiert sein muss. Diese
Arbeit beschäftigt sich mit zwei verschiedenen Arten der
Nichtkommutativität der Raum-Zeit und mit eichtheoretischen
Modellen auf solchen Räumen. Wir werden die nichtkommutativen
Konzepte via eines Isomorphismus auf kommutative Räume übertragen.
Die Information über die nichtkommutative Struktur versteckt sich
in einem neuen nichtabelschen Produkt, dem sogenannten *-Produkt.
Das Sternprodukt ist gegeben durch eine störungstheoretische
Formel. Daher ist der kommutative Limes, in dem die
Nichtkommutativität verschwindet, und die gewohnten Strukturen
zurückkehren, sehr gut erkennbar. Wir betrachten also die
Konstruktion des Sternproduktes als ersten Schritt in Richtung
feldtheoretischer Modelle auf einem nichtkommutativen Raum. So
werden im ersten Teil die Sternprodukte für den 4-dimensionalen
q-deformierten Euklidischen und Minkowski Raum in Normalordnung
berechnet. Hier für können wir geschlossene Ausdrücke angeben.
Allerdings werden q-deformierte Räume in dieser Arbeit nicht weiter
verfolgt. Stattdessen werden wir uns mit kanonisch deformierten und
kappa-deformierten Räumen befassen. Kanonisch deformierte Räume
haben den Nachteil, dass die klassischen Symmetrien gebrochen sind.
Dagegen erlauben sowohl q- als auch kappa-deformierte Räume
verallgemeinerte Symmetriestrukturen. Die Symmetrien werden durch
Quantengruppen beschrieben. Rechnerisch sind kanonische Strukturen
leichter handzuhaben. Wir werden das Standardmodell der
Elemetarteilchenphysik auf kanonischer Raum-Zeit formulieren. Dabei
legen wir großen Wert darauf, zu zeigen, dass sowohl der Higgs
Mechanismus als auch der Yukawa Sektor im nichtkommutativen Modell
implementiert werden können. Wir entwickeln die Wirkung
störungstheoretisch bis zur ersten Ordnung in der
Nichtkommutativität. Die zusätzlichen Terme in erster Ordnung
entsprechen neuen Wechselwirkungen. Diese neuen Wechselwirkungen
haben weitreichende phänomenologische Bedeutung und erlauben eine
experimentelle Suche nach Anzeichen, die auf die
Nichtkommutativität der Raum-Zeit hindeuten. Darüber hinaus sind
wir bemüht, auch Modelle auf kappa-deformierten Räumen zu
betrachten, die sowohl eine verallgemeinerte Poincare' Symmetry
besitzen, als auch symmetrisch unter einer beliebigen Eichgruppe
sind. Dabei legen wir der Eichtheorie die gleichen Konzepte
zugrunde wie im Falle der kanonischen Raum-Zeit. Da die Strukturen
vielfältiger sind, werden wir auf interessante Unterschiede stoßen.
So ist das Eichfeld nicht nur ein Element der einhüllenden Algebra
der Eichgruppe, sondern auch der Poincare' Gruppe. Für die
Formulierung von Lagrange-Modellen fehlt allerdings im Moment noch
ein invariantes Integral. Feldgleichungen können allerdings
hergeleitet werden. Wir werden, auf eindeutige Weise, eine
kappa-Poincare' kovariante Klein-Gordon und Dirac Gleichung
aufstellen. Weiters werden wir alle Ergebnisse in den *-Formalismus
und auf kommutative Räume übersetzen.