The free particle on q-Minkowski space

Die Annahme, daß die Raumzeit-Struktur durch kontinuierliche
Koordinaten beschrieben werden kann, ist ein sehr erfolgreiches
Konzept in der Physik. Bei sehr kleinen Abständen jedoch ist auch
diese Struktur einer Quantisierung unterworfen, und man muß nach
neuen physikalischen Modellen zu ihrer Beschreibung suchen. Eine
Möglichkeit ist es, den Raum durch eine nichtkommutative Algebra
darzustellen und auf diese Weise die entstehende Diskontinuität
abzubilden. In dieser Arbeit wird der q-Minkowski Raum als ein
konkretes Modell solch eines betrachtet. Das besondere dieser
q-deformierten Räume ist, daß sie eine so genannte Quantengruppe
als Hintergrundsymmetrie besitzen. Dies macht es möglich sich die
in der Physik äußerst wichtigen darstellungstheoretischen Aspekte
auch für die q-deformierte Quantenräume zunutze zu manchen. In den
zwei Teilen dieser Arbeit werden irreduzible Darstellungen der
q-deformierten Poincaré-Algebra berechnet. Im ersten Abschnitt
werden wir sie als unitäre Darstellungen in einem abstrakten
Hilbertraum realisieren, während wir sie im zweiten Teil als
Lösungen der q-deformierten Klein-Gordon und Dirac-Gleichung
erhalten werden. Wir beginnen die Konstruktion der irreduziblen
Hilbertraum Darstellungen mit der Wahl eines maximalen Satzes von
miteinander kommutierenden Operatoren. Deren Eigenwerte
repräsentieren die gleichzeitig beobachtbaren Meßgrößen und die
gemeinsamen Eigenvektoren spannen eine Basis des Hilbertraumes auf.
Die Bestimmung der Matrixelemente der Generatoren der
q-Poincaré-Algebra erfolgt durch sukzessives Auswerten der zwischen
ihnen bestehenden Vertauschungsrelationen. Dazu wird zuerst eine
Darstellung für die Koordinaten des q-Minkowski Raumes konstruiert,
dann werden die Generatoren der Drehungen dargestellt, um
schließlich mit Hilfe dieser Ergebnisse auch die Darstellungen der
Boost Operatoren zu erhalten. Indem wir die Algebra der Ableitungen
in die q-Poincaré-Algebra einbetten, ist es am Ende auch möglich
für diese die Matrixelemente zu finden, und somit den kompletten
q-Minkowski Phasenraum darzustellen. Um die Klein-Gordon Gleichung
auf dem q-Minkowski Raum lösen zu können, ist es erst einmal nötig
beliebige Funktionen ableiten zu können. Dies ist aufgrund der
komplizierten Algebra Relationen zwischen den Koordinaten und
Ableitungen ein schwieriges kombinatorisches Problem. Wie wir
zeigen werden kann man es mit Hilfe von erzeugenden Funktionen
lösen. Dies erlaubt es uns dann den Ruhezustand zu bestimmen,
welcher die korrekte q-deformierte Verallgemeinerung der
zeitabhängigen Exponentialfunktion auf dem q-Minkowski Raum
darstellt. Durch Boosten dieses Zustandes wird anschließend eine
Basis für die gesamte irreduzible Darstellung gefunden, die den
Lösungsraum der Klein-Gordon Gleichung umfasst. Dieselben Methoden
können nun auch dazu benutzt werden die Dirac-Gleichung zu lösen
und Zustände mit einem Spin-1/2 Freiheitsgrad zu beschreiben.