Erzeugung von positiv definiten Matrizen mit Nebenbedingungen zur Validierung von Netzwerkalgorithmen für Microarray-Daten

Microarray-Daten werden in letzter Zeit häufig genutzt, um mit
Hilfe verschiedener Verfahren Netzwerke der Gen-Gen-Interaktion zu
generieren. Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit
Validierungsstudien solcher Verfahren. Der Startpunkt einer
Validierungsstudie ist ein ungerichteter Graph, der biologische
Strukturen repräsentieren soll. In dieser Arbeit wird motiviert,
Graphen zu benutzen, die aus Microarray-Daten geschätzt worden
sind. Nachdem ein Graph gewählt worden ist, werden Daten einer
multivariaten Normalverteilung erzeugt, die durch eine zufällige
Kovarianzmatrix charakterisiert ist. Diese Matrix muss symmetrisch
und positiv definit sein, aber zusätzlich wird für eine nicht
vorhandene Kante im Graphen gefordert, dass der zugehörige Eintrag
in der Matrix Null ist. In dieser Arbeit wird ein neuer Ansatz
vorgestellt, der es ermöglicht, symmetrische, positiv definite
Matrizen mit Nebenbedingungen zu erzeugen. Diese Methode beruht auf
der Moralisierung eines Graphen. Ein gerichteter, azyklischer Graph
wird moralisiert, indem die gerichteten Kanten durch ungerichtete
Kanten ersetzt werden und zusätzlich die Eltern eines jeden Knotens
paarweise miteinander verbunden werden. Der zentrale Schritt bei
der Erstellung der Matrizen mit Nebenbedingungen liegt in der
Umkehrung des Moralisierungsvorganges. In dieser Arbeit wird die
Klasse der Graphen eingeführt, die Resultat einer Moralisierung
sein könnten - die prämoralisierbaren Graphen - und es wird ein
Verfahren definiert, welches entscheidet, ob ein Graph
prämoralisierbar ist und gegebenenfalls eine Umkehrung der
Moralisierung durchführt. Die erzeugten Matrizen sollen als
Korrelationsmatrizen für die Validierungsstudien genutzt werden.
Dazu wird das vorgestellte Verfahren an einen
Optimierungsalgorithmus gekoppelt, um die gewünschten Matrizen zu
erzeugen, deren Diagonalelemente identisch 1 sind und für die die
nicht als Null vorgegebenen Werte nahe 1 bzw. -1 liegen. Nicht
jeder Graph ist prämoralisierbar. Da diese Eigenschaft notwendig
ist für das Verfahren zur Erzeugung der Matrizen mit
Nebenbedingungen, wird eine empirische Studie durchgeführt, die
zeigt, dass ein Großteil der aus Microarray-Daten geschätzten
Graphen auch prämoralisierbar ist. Die Arbeit schließt mit
praktischen Anwendungen. Die Validierung eines bekannten
Algorithmus zum Schätzen von Netzwerken wird durchgeführt und es
wird ein Ansatz vorgestellt, mit dem man graphische Strukturen, die
aus Microarray-Daten geschätzt worden sind, vergleichen kann, um
signifikante Unterschiede zu finden.