Equivariant Ricci-Flow with Surgery

In dieser Arbeit untersuchen wir Perelmans Ricci-Fluss mit
Chirurgie auf geschlossenen 3–Mannigfaltigkeiten, deren
Ausgangsmetrik invariant unter einer vorgegebenen glatten Wirkung
einer endlichen Gruppe ist. Eine solche Metrik kann stets durch
Mittelung einer beliebigen Riemannschen Metrik erzeugt werden, und
wegen der Eindeutigkeit des Ricci-Flusses bleibt dieser bis zum
Auftreten von Singularitäten invariant unter der Gruppenwirkung.
Die technische Schwierigkeit besteht nun darin, Symmetrien der
evolvierenden Metrik zu kontrollieren, wenn sich der Fluss einer
Singularität nähert. Zu diesem Zweck konstruieren wir eine
invariante singuläre S²–Blätterung auf dem Bereich der
Mannigfaltigkeit, der von der Chirurgie betroffen ist. Insbesondere
ermöglicht es diese, den Chirurgieprozess äquivariant durchzuführen
und die Gruppenwirkung auf solchen Komponenten zu analysieren, die
bei der Chirurgie komplett entfernt werden. Darüber hinaus lässt
sich mit Hilfe der Blätterung beschreiben, wie die Gruppenwirkungen
vor und nach der Chirurgie zusammenhängen. Dadurch lassen sich aus
dem Langzeitverhalten des Ricci-Flusses und der Gruppenwirkung
Rückschlüsse auf die ursprüngliche Wirkung ziehen. Als Anwendung
zeigen wir, dass jede glatte endliche Gruppenwirkung auf einer
geschlossenen geometrischen 3–dimensionalen Mannigfaltigkeit mit
sphärischer, hyperbolischer oder (S²×R)–Geometrie verträglich mit
der geometrischen Struktur ist, dass also eine invariante
vollständige lokalhomogene Riemannsche Metrik existiert. Dies löst
eine von William Thurston aufgestellte Frage zu Gruppenwirkungen
auf geometrischen 3–Mannigfaltigkeiten, die für die übrigen fünf
Geometrien bereits von Meeks und Scott gelöst wurde.